Demostrar que la función de distancia dada es una norma

Question

Sea el espacio vectorial $X=K^3$ . Para $x=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}) \in X$ definimos

$||x||= [(|\alpha_{1}|^2+|\alpha_{2}|^3)^\frac{3}{2} + |\alpha_{3}|^3]^\frac{1}{3}$

Prueba de que $||·||$ es una norma.

Para demostrar que es una norma, tengo que demostrar 4 propiedades. Sé cómo demostrar 3 de ellas pero no sé cómo demostrar la desigualdad del triángulo, es decir

$||x+y||≤||x||+||y||$

Si me pueden ayudar por favor. Muchas gracias.

Answer 1

El ejercicio probablemente pide considerar, para $x=(u,v,w)$ , $$\|x\|= [(|u|^2+|v|^2)^{3/2} + |w|^3]^{1/3}. $$ (Nótese el exponente erróneo en la pregunta.) Para cada $p\geqslant1$ , considere la norma $N_p$ definido en $\mathbb R^2$ por $$ N_p(u,v)=(|u|^p+|v|^p)^{1/p}. $$ Entonces, $$ \|x\|= N_3(N_2(u,v),w), $$ Por lo tanto, basta con demostrar lo siguiente:

Si $N$ y $M$ son normas sobre $\mathbb R^2$ entonces $Q$ definido por $ Q(u,v,w)=M(N(u,v),w), $ es una norma en $\mathbb R^3$ .

Concentrémonos en la desigualdad triangular. Se tiene $$ Q(u+u',v+v',w+w')=M(N(u+u',v+v'),w+w'), $$ y la desigualdad triangular para $N$ produce $$ N(u+u',v+v')\leqslant N(u,v)+N(u',v'). $$ Supongamos que $M$ satisface la siguiente propiedad:

$(\ast)$ Por cada $t$ la función $x\mapsto M(x,t)$ es no decreciente en $x\geqslant0$ .

Entonces $$ M(N(u+u',v+v'),w+w')\leqslant M(N(u,v)+N(u',v'),w+w'). $$ La desigualdad triangular para $M$ se obtiene que la RHS es a lo sumo $$ M(N(u,v),w)+M(N(u',v'),w')=Q(u,v,w)+Q(u',v',w'), $$ lo que demuestra que $Q$ satisface la desigualdad triangular. Toda norma $N_p$ satisface $(\ast)$ por lo que la cuestión planteada se resuelve y el método muestra realmente que, para cada $n\geqslant1$ y $m\geqslant1$ , $$\|x\|= [(|u|^n+|v|^n)^{m/n} + |w|^m]^{1/m}, $$ define una norma.

Advertencia: Usamos ese $N$ y $M$ son normas, y la propiedad adicional de que, para cada $t$ , $x\mapsto M(x,t)$ es no decreciente en $x\geqslant0$ . A no ser que me esté perdiendo algo, determinar si se puede o no deshacer esta hipótesis, es una cuestión interesante.