Probabilidad de ganar en un dado de rodadura de juego con seis jugadores

Question

Hay 6 jugadores numerados del 1 al 6, de 1 Jugador, el Jugador 2, ..., Reproductor de 6.

El jugador 1 lanza un dado , si obtiene un 1 gana, y el juego termina, de lo contrario el morir pasa al jugador cuyo número coincide con el número que se presenta la matriz y el jugador hace un segundo paso, si se obtiene el número del jugador que ha tirado, él gana y el juego termina, de lo contrario el dado pasa al jugador cuyo número coincide con el número de rodados, el jugador tira el dado, si se obtiene el número del jugador que ha tirado, él gana y el juego termina, de lo contrario, al morir pasa al jugador cuyo número coincide con el número que presenta el morir en esta tercera versión, y así sucesivamente.

Calcular la probabilidad de que el jugador 1 gana.

Answer 1

Deje $p$ la probabilidad que el Jugador 1 (en última instancia) gana. Si el Jugador 1 no gana en su primer lanzamiento, por simetría, los otros jugadores todos tienen iguales probabilidades de ser "siguiente", por lo que todos tienen iguales probabilidades de que acabaría ganando, es decir,$\frac{1-p}{5}$.

En el primer lanzamiento, ya sea P1 arroja una $1$ y gana inmediatamente, o arroja algo más y se convierte efectivamente es uno de los "otros" a los jugadores. Así $$p=\frac{1}{6}+\frac{5}{6}\cdot\frac{1-p}{5},$$ y ahora podemos resolver para $p$.

Answer 2

También tuve la oportunidad de 2/7, pero de una manera diferente.

Deje $p$ la probabilidad de que el jugador 1 gana el juego, ya sea en su turno actual o en el futuro. Deje $q$ la probabilidad de que el jugador 1 finalmente gana cuando se trata de alguien que vigilara su vez, en particular, de que el otro jugador no termina el juego en el turno actual.

A continuación, el jugador 1 puede ganar de inmediato, o el primer paso de la vuelta a alguien: $$p = \frac16 + \frac56 q.$$

Cuando se toca a los demás, y ellos no ganan, entonces será el jugador 1 turno de nuevo o el turno de pasar a uno de los otros 4 jugadores: $$q = \frac16 p + \frac46 q.$$

Resolviendo estas dos ecuaciones para $p$ es fácil de hacer con la mano, dando a $p = \frac27$ (e $q=\frac17$, lo que, por simetría, es la probabilidad de cada uno de los otros 5 jugadores de ganar).