Diferenciar término a término en un espacio de Banach: ¿cómo justificarlo?

Question

Después de ver esta pregunta Ahora me pregunto si el teorema demostrado en la primera respuesta puede generalizarse a un espacio de Banach. Véase aquí para mi intento. Pero antes de hacerlo, tengo el siguiente problema:

NOTA: Utilizo las anotaciones de la primera respuesta debajo de esa pregunta.

No sé cómo justificar por qué la serie $\sum a_kf_k$ puede diferenciarse término a término, es decir, por qué $\partial^\alpha (\sum a_kf_k)=\sum a_k(\partial ^\alpha f_k) $ y por qué la convergencia de $\sum a_k\partial ^\alpha f_k$ implica la existencia de $\partial^\alpha (\sum a_kf_k)$

En el espacio de Banach, la notación multiíndice no significa nada, por lo que debería escribir $\sum a_kD^nf_k$ .

Answer 1

( Nota : Esto es sólo una parte de la respuesta, ni siquiera estoy seguro de que la prueba completa pueda generalizarse a los espacios de Banach separables).

No sé cómo justificar por qué la serie $\sum a_kf_k$ puede diferenciarse término a término, es decir, por qué $\partial^\alpha (\sum a_kf_k)=\sum a_k(\partial ^\alpha f_k) $ y por qué la convergencia de $\sum a_k\partial ^\alpha f_k$ implica la existencia de $\partial^\alpha (\sum a_kf_k)$

Una posible forma de resolver esto es verificar que $\sum a_k D^nf_k$ es una derivada de Fréchet de $\sum a_k D^{n-1} f_k$ (y luego utilizar la inducción). Para demostrarlo, la estimación $$ \| D^{n-1}f_k(x+h)- D^{n-1} f_k(x) - D^n f_k(x)h\| \leq \sup_{\|y\|\leq \|h\|} \frac12 \| D^{n+1} f_k(x+y)\| \|h\|^2 $$ puede ser útil (esta estimación se obtiene utilizando una serie de Taylor y estimando el resto).