Cómo encontrar las cifras de la identidad de Bezout para dos números

Question

Tengo problemas para encontrar dos números a,b tales que $ 288a+177b=3=gcd(177,288) (1) $

He estado escribiendo las ecuaciones del algoritmo de Euclides una sobre otra muchas veces para obtener cualquier par que verifique (1). Pero, todavía no lo consigo. Estoy tratando de resolver $ 288x + 177y = 69 $ Entiendo muy bien el teorema. Pero realmente, necesito ayuda para encontrar la solución particular. Si alguien puede explicarme algún método, o darme un consejo para encontrar un par (a,b), lo agradecería mucho. Gracias por leer,

Saludos.

Answer 1

Así es como lo hago en mi cuaderno cuando tengo que hacerlo:

Primero hay que utilizar el algoritmo euclidiano para encontrar el máximo común divisor:

$288=(1)177+111$

$177=(1)111+66$

$111=(1)66+45$

$66=(1)45+21$

$45=(2)21+3$

$21=(7)3$ Por lo tanto, el GCD es $3$ . el siguiente paso es pasar todas las ecuaciones excepto la última para que el número pequeño esté solo:

$111=288-(1)177$

$66=177-(1)111$

$45=111-(1)66$

$21=66-1(45)$

$3=45-2(21)$ .

Una vez que tengo esto empiezo con la ecuación $3=45-2(21)$ y voy uno por uno sustituyendo el factor más pequeño con la ecuación adecuada y luego simplificando:

$3=45-2(21)$

$3=45-(66-(1)45)=2(45)-66=$

$2(111-(1)66)-66=2(111)-2(66)=$

$2(111)-2(177-111)=4(111)-2(177)=$

$4(288-177)-2(177)=4(288)-6(177)$

Answer 2

Supongamos que $288 a_1 + 177 b_1 = g$ donde $\gcd(288, 177)$ . El primer paso del algoritmo de Euclides dice: se toma $288 = 177 + 111$ y $\gcd(288,177) = \gcd(111, 177)$ . Correspondiente a esto, $288 a_1 + 177 b_1 = 111 a_1 + 177 (a_1 + b_1)$ Así que $111 a_2 + 177 b_2 = \gcd(111,177)$ donde $b_2 = a_1 + b_1$ . Cada paso del algoritmo de Euclides le da una ecuación en el $a$ y $b$ 's. Sigue la pista de estas ecuaciones. Al final, tendrás una que es fácil de resolver, y luego trabajas hacia atrás para obtener $a_1$ y $b_1$ .