Probabilidad de que se produzca un siniestro a un cliente de una compañía de seguros elegido al azar: ¿es correcta mi solución?

Question

Una compañía de seguros divide a sus clientes en diferentes grupos de riesgo. Supongamos que el 60% de los clientes están en el grupo A (riesgo bajo), el 30% en el grupo B (riesgo medio) y el 10% en el grupo C (riesgo alto).

Las probabilidades de que se produzcan pérdidas para los clientes de los distintos grupos son las siguientes:

• Grupo A: 0,1
• Grupo B: 0,25
• Grupo C: 0,74

Calcule la probabilidad de que se produzca un siniestro en un cliente de la compañía de seguros elegido al azar.

Así que, en primer lugar, vamos a empezar observando lo que ya tenemos (L - ocurrencia de la pérdida):

P(A) = 0,6 dado

P(B) = 0,3 dado

P(C) = 0,1 dado

P(L|A) = 0,1 dado \=> P(L $^c$ |A) = 1- 0.1 = 0.9

P(L|B) = 0,25 dado \=> P(L $^c$ |B) = 1 - 0.25 = 0.75

P(L|C) = 0,74 dado \=> P(L $^c$ |C) = 1 - 0.74 = 0.26

No estoy seguro de si la regla de la probabilidad total debe aplicarse aquí para encontrar la P(L) y si la regla de la probabilidad total es necesaria aquí, estoy bastante confundido en cuanto a cómo calcularla con 3 eventos diferentes? (A, B Y C).

Por lo tanto, lo que he intentado es:

P(L) = 1 - P(L) $^c$ ) - caso de que no se produzcan pérdidas para nadie

P(L $^c$ ) = P(L $^c$ |A)*P(A)*P(L $^c$ |B)*P(B)*P(L $^c$ |C)*P(C) = 0,9*0,6*0,75*0,3*0,26*0,1 = 0,003159 la probabilidad de que no haya pérdidas para nadie

De aquí se deduce que:

P(L) = 1 - 0,003159 = 0,996841 de probabilidad de que la pérdida se produzca en un cliente de la empresa escogido al azar

Entonces, ¿estoy completamente equivocado o lo he resuelto correctamente? No tengo una solución con la que comparar, por eso te pregunto a ti, ¡así que gracias de antemano por tu tiempo! Cualquier idea es muy apreciada.

Answer 1

No puedes multiplicar todos los eventos así para calcular $P(L')$ . Empezamos por calcular la probabilidad de que se encuentre en el grupo de pérdidas A o en el grupo de pérdidas B o en el grupo de pérdidas C.

P(el cliente está en el grupo de pérdidas A) = P(el cliente pertenece a A) $\cdot$ P(un cliente A tiene pérdidas)

$$P_{A} = 0.6\cdot 0.1 = 0.06$$

P(el cliente está en el grupo de pérdidas B) = P(el cliente pertenece a B) $\cdot$ P(un cliente B tiene pérdidas)

$$P_{B} = 0.25\cdot 0.3 = 0.075$$

P(el cliente está en el grupo de pérdidas C) = P(el cliente pertenece a C) $\cdot$ P(un cliente C tiene pérdidas)

$$P_{C} = 0.74\cdot 0.1 = 0.074$$

Como el cliente puede estar en cualquier grupo de pérdidas, lo sumamos todo para obtener

$$P = P_{A}+P_{B}+P_{C} = 0.06+0.075+0.074 = 0.209$$

Answer 2

Debería sospechar que $0.996841$ respuesta independientemente de cómo hayas llegado a ella, porque no tiene sentido. Es casi $1$ Pero la probabilidad de que un cliente aleatorio sufra una pérdida debe ser seguramente menor que la que tendría si todos fueran de alto riesgo.

La forma de hallar la probabilidad de una pérdida para un cliente elegido al azar es como una media ponderada sobre los tipos de clientes, por lo que $$ 0.6 \times 0.1 + 0.3 \times 0.25 + 0.1 \times 0.74 . $$

Puede verlo visualmente dibujando el árbol de probabilidades con tres ramas para la elección del cliente, seguidas de dos para la pérdida/sin pérdida.

Si le dijeran que un cliente ha sufrido una pérdida y le preguntaran las probabilidades de qué tipo de cliente es, sería una pregunta diferente.

Última observación: Me sorprende ver que las tres probabilidades de pérdida suman exactamente $1$ . Es una extraña coincidencia, o refleja alguna parte de la pregunta que no has transcrito correctamente.