La fórmula de Ito para $B^2$ no funciona con Monte Carlo

Question

Estoy tratando de "verificar" la fórmula de Ito para $B^2$ con el método simple de Monte Carlo.
Según mi libro de texto, $ B^2 $ satisface esta SDE: $d(B^2) = dt + 2BdB$ .

Mi simulación ( cuaderno ) da como resultado la siguiente distribución para $B^2$ con $dt \in \{1/100,1/1000,1/10000\}$ :

Y la distribución para la solución de $dy = dt + 2BdB$ :

Está claro que son diferentes y parece que estoy cometiendo algún error muy simple, ¿lo estoy haciendo?

Aquí está mi código en Julia ( cuaderno ):

# k instances of ito integral simulations of f from t=0. to t=1.
function ito_sim(f, n, k)
    y   = zeros(k)
    dt  = 1./n
    sdt = sqrt(dt)
    t = 0.
    b = zeros(k)
    for i in 1:n
        db = randn(k) * sdt
        b += db
        t += dt
        y += f(t, dt, b, db) 
    end
    y
end;
plt[:hist](ito_sim((t,dt,b,db)-> db, n, 10000) .^ 2);
plt[:hist](ito_sim((t,dt,b,db)-> dt + 2 * b .* db, n, 10000));

PS He buscado en stackoverflow y me parece que math.stachexchange es más adecuado para esta pregunta.

Answer 1

Mirando tu código , tu esquema está sesgado , y es por la forma en que calculas la integral de Ito.

Has construido una función que calcula muestras de un proceso Ito en el tiempo $1$ . Dejemos que $g(t,B_t)$ un proceso Ito definido como

$$dg(t,B_t)=a(t,B_t)dt+\sigma(t,B_t)dB_t$$ donde $B_t$ es un movimiento browniano.

Usted dice que dada una subdivisión $\{t_i\}$ definido como $t_i=\frac{i}{n}$

$$g(1,B_1)=\sum_{k=1}^{n}{[g(t_k,B_{t_k})-g(t_{k-1},B_{t_{k-1}})]}\approx\sum_{k=1}^{n}{[a(t_k,B_{t_{k}})(t_k-t_{k-1})+\sigma(t_k,B_{t_{k}})(B_{t_k}-B_{t_{k-1}})]}$$

A continuación, definimos una función $$f(t,dt,b,db)=[a(t,b)dt+\sigma(t,b)db]$$

$$g(1,B_1)\approx\sum_{k=1}^{n}{f(t_k,t_k-t_{k-1},B_{t_{k}},B_{t_{k}}-B_{t_{k-1}})}$$

La fórmula anterior puede ser una buena aproximación si $g(0,B_0)=0$ que es el caso que nos ocupa. Al aplicar su código al proceso $$dg(t,B_t)=dt+2B_tdB_t$$

El resultado final será el siguiente

$$X=\sum_{k=1}^{n}{[\frac{1}{n}+2B_{t_{k}}(B_{t_k}-B_{t_{k-1}})]}$$ y su expectativa es $3$ , mientras que usted espera $1$ .

La razón es que utiliza esta aproximación en su código $$\int_{t_k}^{t_{k+1}}{B_tdB_t}\approx B_{t_{k+1}}(B_{t_{k+1}}-B_{t_{k}})$$

Si hubiera elegido

$$\int_{t_k}^{t_{k+1}}{B_tdB_t}\approx B_{t_{k}}(B_{t_{k+1}}-B_{t_{k}})$$

el sesgo se elimina, y la expectativa habría sido $1$ .