Dejemos que $A$ - es algún unital $C^*$ álgebra, y $P$ es el conjunto de todos los elementos estrictamente positivos en $A$ . Podemos definir el mapa $\sqrt{?} : P \to A$ que toma un elemento positivo y devuelve su (única) raíz cuadrada estrictamente positiva. ¿Cómo evaluar su derivada de Frechet?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
s.harp
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Dejemos que $P$ sea el cono de elementos estrictamente positivos y sea $V$ las combinaciones lineales reales de éstas. $V$ es un espacio de Banach real y $P$ es un subconjunto abierto de $V$ .
Considere los mapas $s:P\to P, a\mapsto a^2$ y $r:P\to P,a\mapsto a^{1/2}$ , tienes que $s\circ r=\mathrm{id}\lvert_P=r\circ s$ . Con la regla de la cadena se deduce que
$$d(s\circ r)(a)=ds(r(a))\cdot dr(a) = \mathbb1\lvert_V=dr(s(a))\cdot ds(a)=d(r\circ s)(a)$$
Así que $dr(a)$ es lo mismo que $ds(r(a))^{-1}$ . Concretamente $ds(r(a))=L(r(a))+R(r(a))$ donde $L$ y $R$ son las operaciones de multiplicación por la izquierda y por la derecha en $A$ .
En el caso de un álgebra conmutativa la inversa se convierte en $\frac1{2\sqrt{a}}$ pero no puedo encontrar una expresión agradable en el caso general, pero creo que este enfoque puede ser fructífero.
