Probando $ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{8n^2-5}{4n^2+7} = 2$ utilizando $\epsilon-\delta-$ definición.

Question

Intento demostrar el límite de esta secuencia utilizando la definición formal. He mirado otras preguntas en el sitio pero de las que he visto, la $n^2$ término siempre parece anularse, haciéndolo más sencillo.

Demuestra que $$ \lim_{n\to\infty} \frac{8n^2-5}{4n^2+7} = 2$$

Así es como empecé:

$$ \left|\frac{8n^2-5}{4n^2+7} -2 \right| = \left|\frac{-19}{4n^2+7}\right| = \frac{19}{4n^2+7} \leq \frac{19}{4n^2} = \epsilon$$

Dejemos que $\epsilon > 0 \implies n = \sqrt{\frac{19}{4\epsilon}}$

Por propiedad arquimédica: $ N > \sqrt{\frac{19}{4\epsilon}} $

Si $ n \geq N \geq \sqrt{\frac{19}{4\epsilon}} $

$$ \left|\frac{8n^2-5}{4n^2+7} -2 \right| \leq \frac{19}{4n^2} < \frac{19}{4(\frac{19}{4\epsilon})} = \epsilon $$

Answer 1

Tenemos $$\left|\frac{8n^2-5}{4n^2+7} -2 \right| = \left|\frac{-19}{4n^2+7}\right| < \frac{19}{4n^2} = $$

Ahora dejemos que $$\frac{19}{4n^2} < \epsilon\Longleftrightarrow n>\sqrt{\frac{19}{4\epsilon}} $$ Ahora, elegir,

$$N =\left\lfloor \sqrt{\frac{19}{4\epsilon}}\right\rfloor +1$$ entonces tenemos $$n > N=\left\lfloor \sqrt{\frac{19}{4\epsilon}}\right\rfloor +1\Longrightarrow n>\sqrt{\frac{19}{4\epsilon}}\\\Longrightarrow \epsilon>\frac{19}{4n^2} > \left|\frac{8n^2-5}{4n^2+7} -2 \right|$$

es decir, tenemos $$n > N=\left\lfloor \sqrt{\frac{19}{4\epsilon}}\right\rfloor +1\Longrightarrow \left|\frac{8n^2-5}{4n^2+7} -2 \right|< \epsilon$$