Encuentre E(XY) suponiendo que no se da la independencia Encuentre E(XY) con E(X) = 4, E(Y) = 10, V(X) = 5, V(Y) = 3, V(X+Y) = 6

Question

Estoy teniendo problemas para encontrar una manera de resolver este problema. Entiendo que esto sería sencillo si X e Y fueran independientes, sin embargo, creo que no lo son ya que V(X) + V(Y) no es = 8. Encuentra E(XY) con E(X) = 4, E(Y) = 10, V(X) = 5, V(Y) = 3, V(X+Y) = 6

Answer 1

Utiliza las fórmulas:

$V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y)$

$Cov(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]$

¿Puedes resolverlo ahora?

Answer 2

Sugerencia: Tenga en cuenta que $XY=(1/2)[(X+Y)^2-X^2-Y^2]$ y el valor esperado es lineal, y las varianzas son valores esperados de los cuadrados.

EDIT: Sólo para precisar, de $XY=(1/2)[(X+Y)^2-X^2-Y^2]$ se obtiene $$E(XY)=(1/2)[E[(X+Y)^2]-E(X^2)-E(Y^2)] \\ =(1/2)[V(X+Y)-V(X)-V(Y)]=(1/2)[6-5-3]=-1.$$

Tenga en cuenta que con este enfoque no necesitamos utilizar $E(X),E(Y)$ (o la covarianza que depende de ellos).

Debo disculparme: las varianzas son valores esperados de las diferencias al cuadrado con respecto a la media. Así que uno necesita saber $E(X),E(Y)$ . En conjunto, la otra respuesta es más rápida, pero podemos llegar a los valores esperados de los cuadrados utilizando $E(Z^2)=V(Z)+E(Z)^2$ y arreglar lo anterior. Es decir, tenemos $E(X^2)=5+4^2=21,\ E(Y^2)=3+10^2=103,$ y $E[(X+Y)^2]=6+14^2=202$ para que $$E(XY)=(1/2)[E[(X+Y)^2]-E(X^2)-E(Y^2)] \\ =(1/2)[202-21-103]=39,$$ de acuerdo con la otra respuesta (menos implicada).

Answer 3

Así es como yo trataría este problema.

En primer lugar, debemos darnos cuenta de que:

$Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)$

$Cov(X,y) = E(XY) - E(X)E(Y)$

Estas dos relaciones nos ayudarán a resolver este problema.

Usando la primera ecuación, podemos ver que nos dan 3 de las 4 incógnitas. Resolviendo la $Cov(X,Y)$ obtenemos su valor como $-1$ .

Ahora, utilizando la segunda ecuación para la definición de la covarianza, vemos que la única cantidad variable que no tenemos es $E(XY)$ . Al resolver esta cantidad se obtiene $39$ .

Espero que esto ayude y, por favor, tenga en cuenta que esta es mi primera respuesta en Math.Stackexchange :)