Problema relacionado con el polinomio que toma el mismo valor para tres entradas

Question

Sea p(x) un polinomio sobre los enteros tal que toma 1 valor en tres enteros diferentes. Demostrar que no tiene raíz integral.

MI INTENTO:

No se me ocurría nada. Primero pensé que este polinomio no puede ser lineal o cuadrático, ya que toma los mismos valores en más de dos puntos (una aplicación del teorema de la identidad para polinomios) pero no sé por dónde cogerlo.

Answer 1

Dejemos que $q(x)=p(x)-1$

$q(a)=q(b)=q(c)=0$ para algunos enteros $a$ , $b$ , $c$ .

$q(x)=(x-a)(x-b)(x-c)\cdot r(x)$ , donde $r(x)$ es algún otro polinomio sobre los enteros.

Cuando $p(x)=0$ , $(x-a)(x-b)(x-c)\cdot r(x) = -1$

Esto es imposible ya que $a,b,c$ son números enteros, por lo que el más cercano $(x-a)(x-b)(x-c)$ puede ser es $2$ o $-2$

Answer 2

(Véase mi comentario para conocer mi interpretación de la pregunta).

Una pista: Para polinomios enteros, $a-b \mid P(a) - P(b)$ .