Curva suave paramétrica que visibiliza todos los puntos enteros del plano

Question

¿Existe una curva suave paramétrica que visite todos los puntos enteros $(x,y),\, x,y \in \mathbb{N}$ del avión?

Algo parecido a esto:

$$\begin{align} x = &\theta \cos(2\sin(\theta\pi))\\ y = &\theta \sin(\theta\pi)\end{align}$$

ver el parcela en Fooplot ... una especie de (invertido) suave Función de emparejamiento de Cantor.

¿O se puede demostrar que esa curva no puede existir?

I preguntó esta pregunta en math.stackexchange la semana pasada, pero no obtuve una respuesta satisfactoria: la curva sugerida en la respuesta es la función de emparejamiento inversa de Cantor, por lo que utiliza la piso y me gustaría saber si se puede evitar el suelo/techo.

Answer 1

Sí. Empezar con una curva de "bache" compacta y suave $$\mathbf r(t)=\langle x(t),y(t)\rangle,\qquad 0\le t\le 1$$ con $$x^{(n)}(0)=y^{(n)}(1)=0\qquad\text{for all }n,$$ $\mathbf r(0)=\langle 0,0\rangle$ y $\mathbf r(1)=\langle 0,1\rangle$ .

A continuación, girándolo y trasladándolo, y utilizando también segmentos de líneas rectas, puedes unir tu función suave de la siguiente manera.

(La curva del bache se muestra en azul).