¿Cómo calcular el género de una curva algebraica?

Question

He estado leyendo sobre la parametrización de las curvas algebraicas recientemente y la idea de que el "género de una curva" aparece muy a menudo (mi impresión es que la curva es parametrizable exactamente cuando tiene género 0), pero me parece que no puede encontrar una definición para ella, mucho menos una idea intuitiva de lo que esto significa. Agradecería si alguien pudiera explicar lo que es el género de una curva algebraica es.

Más específicamente, papeles suele decir algo como esto (donde $\mathcal{C}$ es nuestra curva):

$\mathcal{C}$ tiene singularidades en $P_1=(1:0:0),P_2=(0:1:0),P_3=(0:0:1),P_4=(1:1:1)$ donde $P_1,P_2,P_3$ son 5 veces en puntos y $P_4$ es 4 veces la del punto. Por lo que el género de $\mathcal{C}$ es 0. [A modo de referencia, $\mathcal{C}$ es una curva de grado 10 en $\mathbb{P}^2(\mathbb{C})$.]

$\mathcal{C}$ tiene un triple punto de $P_1$ en el origen $(0,0)$, y el doble de puntos $P_2=(0,1), P_3=(1,1)$, $P_4=(1,0)$. Por lo que el género de $\mathcal{C}$ es 0. [$\mathcal{C}$ es una curva de grado 5 en $\mathbb{A}^2(\mathbb{C})$.]

No entiendo cómo hacer el salto de los puntos singulares a nivel de género en estos ejemplos. Puede alguien explicar?

Answer 1

Hmm. Estaba esperando que alguien que realmente sabe de geometría algebraica iba a escribir una respuesta a esta pregunta.

Primero, un poco de intuición. Resulta complejo proyectiva no singular curvas algebraicas son la misma cosa, como (conectado) compacto de las superficies de Riemann, que topológicamente, compacto y orientado a las superficies. Por la clasificación de las superficies compactas, las superficies son los únicos clasificados mediante un único número, su género $g$, que cuenta cómo muchos agujeros que hay en la superficie. Más precisamente, para cada $g$ hay una orientada a la superficie de $S_g$ que es el conectado suma de $g$ tori (que es, es un "donut con $g$ agujeros"), y cada una de las (conectado) compacta orientable superficie es homeomórficos a $S_g$ para $g$.

El género $g$ tiene varias definiciones equivalentes, y algunos de estos generalizar a la geometría algebraica, donde no tenemos acceso directo a la información topológica. Por desgracia, ninguno de ellos es especialmente fácil de describir. Una excelente introducción a este tema se puede encontrar en Fulton las Curvas Algebraicas.

Así que la idea es clara para los no-singular curvas. Sin embargo, el género resulta ser un birational invariante de curvas (en particular, invariantes bajo la supresión de un número finito de puntos), por lo que es posible extender la definición del género en singular curvas al declarar que el género de una singular curva a ser el género de no-singular de la curva de birational.

Ejemplo. Considerar el singular de la curva de $y^2 = x^3$ grado $3$ $\mathbb{P}^2(\mathbb{C})$ (equivalente a $\mathbb{A}^2(\mathbb{C})$). Tiene un punto singular en el origen de la orden de $2$. Ahora, un no-singular de la curva de grado $3$ $\mathbb{P}^2(\mathbb{C})$ género $1$ (ver curva elíptica), pero esta curva no: de hecho, el uso de la birational mapa de $t \mapsto (t^2, t^3)$ vemos que esta curva es birational a $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$, por lo tanto tiene género $0$.

Así que nos vimos anteriormente que, en términos generales, a las singularidades de disminuir la "espera", género de una curva (donde "espera" significa el número de $\frac{(d-1)(d-2)}{2}$ que se obtiene del género-grado de la fórmula). Exactamente cuánto singularidades disminuir la espera de género, me parece ser un poco complicado y no soy quien para discutir en detalle. Sin embargo, para "ordinario" puntos singulares (no estoy seguro exactamente lo que esto significa) de la orden $r$ parece que el género se presenta por la disminución de la $\frac{r(r-1)}{2}$. Por lo que el género en su primer ejemplo es $$\frac{9 \cdot 8}{2} - 3 \frac{5 \cdot 4}{2} - \frac{4 \cdot 3}{2} = 36 - 30 - 6 = 0$$

y el género en su segundo ejemplo es $$\frac{4 \cdot 3}{2} - \frac{3 \cdot 2}{2} - 3 \frac{2 \cdot 1}{2} = 6 - 3 - 3 = 0.$$

Answer 2

Yo no soy un algebraicas aparejador, pero traté de averiguar cómo calcular el género de una curva algebraica para satisfacer mi propia curiosidad. Aunque todavía tengo éxito, me gustaría compartir lo que me hizo aprender.

En primer lugar, aquellos que todavía tiene que acostumbrarse a proyectiva del espacio y homogénea coordenadas debe leer las dos primeras secciones del apéndice en Puntos Racionales en Curvas Elípticas por Silverman. Facilita la motivación y la intuición para estos conceptos.

A continuación voy a tratar de explicar cómo calcular el género con la mano. Alternativamente, se puede utilizar un sistema de álgebra computacional como de Arce para calcular el género.

Esta respuesta por Vogler , Las Matemáticas Foro proporcionada por Hans en un comentario es realmente útil. Se explica casi todo de una forma muy accesible. La respuesta se basa en las Curvas Algebraicas por Walker (ver secciones 7.1 a 7.5). Otra referencia es la de las Curvas Algebraicas: Una Introducción a la Geometría Algebraica por Fulton, que está libremente disponible en línea (ver sección 7.5). Estas secciones señalo en ambos libros lidiar con la parte más difícil de la informática en el género, que es el manejo de la no-ordinaria singularidades.

Con sólo ordinario singularidades, las cosas son mucho más fáciles. Deje $f(x,y) = 0$ definir un nonsingular curva algebraica $C$ grado $d$ sólo con $n$ ordinario puntos singulares $p_i$ ( $1 \le i \le n$ ), donde $p_i$ tiene multiplicidad $r_i$. A continuación, $$\operatorname{genus}(C) = \frac{(d-1)(d-2)}{2} - \sum_{i=1}^n \frac{r_i (r_i - 1)}{2}.$$

Un punto (en dehomogenized coordenadas) es singular si $$f(x,y) = \partial_x f(x,y) = \partial_y f(x,y) = 0.$$ Let $(a,b)$ be a singular point. To determine the order of $(a,b)$, compute $f(a + x t, b + y (t)$. Then the order of $(a,b)$ is the minimum value for $r$ such that $g(x,y) t^r$ is not identically zero. Now write $g(x,y)$ as $y^r h(x/y)$. Then $(a,b)$ is an ordinary singularity if $\gcd(h, h') = 1$ y no es ordinaria de otra manera.

(Tenga en cuenta que esta explicación sólo menciona las variables$x$$y$, pero hay otra variable $z$ que implícitamente se establece en 1. No olvide considerar los puntos "en el infinito", que es al $z=0$. Lea el apéndice por Silverman es que esto no está claro.)

Mariano dijo en un comentario ordinario de la singularidad es un punto con distintos tangentes (y no es ordinaria si alguna tangente aparece más de una vez). Para tener una idea de esto, vea el ejemplo de las figuras de Fulton en la página 32 (o los ejemplos de Walker en la página 57).

Estoy completamente seguro de qué hacer si la curva es reducible.

Para calcular el género de una curva algebraica irreducible con no-ordinaria singularidades, nosotros lo transformamos en otra curva algebraica con el mismo género y no-ordinaria singularidades utilizando un llamado birational transformación. En contraste con las explicaciones de arriba, esta parte se explica mejor en coordenadas homogéneas.

Esta transformación se obtiene por realizar repetidamente dos pasos. En el primer paso, podemos transformar $C$ a una nueva curva de $C'$ la satisfacción de varias propiedades. Vogler los estados de estas propiedades (con mi paráfrasis) de la siguiente manera. Deje $p=(a,b,c)$ ser un no-ordinaria punto singular de la multiplicidad $r$. Entonces

1. $p=(1,0,0)$ en coordenadas proyectivas;
2. Los puntos de $(0,1,0)$ $(0,0,1)$ no $C'$;
3. La línea de $x = 0$ no se cruzan $C'$ en cualquier punto singular;
4. Las líneas de $y = 0$ $z = 0$ no se cruzan $C'$ en cualquier punto singular distinta de $p=(1,0,0)$ de la multiplicidad $r$.

Fulton dice que una curva de la satisfacción de estas condiciones está en excelente posición (consulte la página 90).

La primera condición es fácil de satisfacer, como la curva de $C_1$ definido por $$f'(x,y,z) = f(a x, y + b, z + c) = 0$$ tiene esta propiedad. Sin embargo, estoy seguro de cómo se obtienen sistemáticamente más transformaciones para satisfacer las otras propiedades, mientras que el mantenimiento de las anteriores (incluso si estos últimos tres condiciones deben contener normalmente como Vogler). Vogler da un ejemplo de tales transformaciones, mientras Fulton y Walker salir de este paso como un ejercicio para el lector. Si alguien pudiera modificar mi respuesta explicando este paso, sería fantástico.

Ahora, dado que nuestra curva de $C'$ definido por $f'(x,y,z)=0$ satisface las propiedades anteriormente mencionadas, podemos transformar a una nueva curva de $C''$ definido por $f''(x,y,z)=0$ donde $$f'(yz,xz,yz) = x^r f''(x,y,z).$$ A continuación, repetimos todo este proceso que se inicia con $C''$ hasta la obtención de una curva con el no-ordinarios de singularidades, en el cual se puede calcular el género mediante la fórmula anterior.