Mínimo transversal para una familia de conjuntos finitos

Question

Considera la afirmación: Toda familia de conjuntos finitos no vacíos tiene una transversal mínima, es decir, un conjunto que interseca a todos los elementos de la familia y ningún subconjunto estricto de la misma tiene esta propiedad.

¿Es cierto que esta afirmación es equivalente con el axioma de elección? Está claro que el lema de Zorn lo implica. ¿Pero qué pasa con el viceverso... o con otra cosa?

Answer 1

Sí, incluso la afirmación "cada familia de $2$ -Los conjuntos de elementos tienen una transversal mínima" es equivalente al axioma de elección. Usémoslo para demostrar que todo conjunto parcialmente ordenado tiene una cadena máxima.

Dejemos que $P$ sea cualquier conjunto parcialmente ordenado. Sea $\mathcal A$ sea el conjunto de todos los $2$ -elementos anticadenas en $P,$ es decir, todos los conjuntos $\{x,y\}\subseteq P$ tal que $x\not\le y$ y $y\not\le x.$ Si $T$ es una transversal mínima para $\mathcal A,$ entonces $P\setminus T$ es una cadena máxima en $P.$

Alternativamente, usemos su declaración para probar que cada familia $\mathcal F$ de conjuntos no vacíos disjuntos tiene un selector. Sea $$\mathcal A=\bigcup_{X\in\mathcal F}\binom X2,$$ la colección de todos los $2$ -conjuntos de elementos que están contenidos en algún miembro de $\mathcal F.$ Si $T$ es una transversal mínima para $\mathcal A,$ entonces $T$ contiene todos los elementos de cada miembro de $\mathcal F,$ por lo que el complemento $\bigcup\mathcal F\setminus T$ contiene exactamente un elemento de cada miembro de $\mathcal F.$