Determinar todos los primos Impares que se pueden expresar en la forma $x^2+xy+5y^2$

Question

Determinar todos los primos Impares que pueden ser expresados en la forma $x^2+xy+5y^2$ .

Su discriminante $d=-19$ . Y es en su forma reducida. Pero, ¿cómo se puede encontrar todos estos primos Impares. alguna sugerencia?

Por favor, proporcione una pista basada únicamente en las formas cuadráticas, ya que estoy haciendo un curso elemental de teoría de números.

Answer 1

$\mathbb{Q}(\sqrt{-19})$ es uno de los pocos campos cuadráticos imaginarios con clase número uno en nuestro caso, $x^2+xy+5y^2$ es la única forma cuadrática binaria reducida del discriminante $-19$ . Se deduce que los números representados por dicha forma cuadrática dan un semigrupo, y los primos representados por dicha forma cuadrática son los primos para los que $-19$ es un residuo cuadrático, es decir, por reciprocidad cuadrática, los primos pertenecientes a algunas progresiones aritméticas $\!\!\pmod{76}$ .

Para una magnífica referencia, véase D.A. Cox - Primas de la forma $x^2+ny^2$ o estas notas por M. Bates.

Answer 2

Esta es la forma normal del campo numérico $ K = \mathbf Q((1 + \sqrt{-19})/2) $ que tiene el número de clase $ 1 $ . Por lo tanto, los primos representados por esta forma son precisamente los primos que están divididos o ramificados en $ \mathcal O_K $ . $ 2 $ es inerte, y un primo impar se divide si y sólo si $ -19 $ es un residuo cuadrático módulo de ese primo, lo que, por reciprocidad cuadrática, se reduce a determinar la clase de residuo de ese primo módulo $ 4 \times 19 = 76 $ .

Answer 3

Si $(-19|p) = 1$ para una prima impar $p,$ esto significa que hay una solución para $\beta^2 \equiv -19 \pmod p.$ Si $\beta$ es par, sustitúyalo por $\beta \mapsto p - \beta,$ que ahora es impar. Ahora tenemos $$\beta^2 \equiv -19 \pmod {4p}.$$ Esto es algo bueno. $$ \beta^2 = -19 + 4pt $$ para algún número entero (no nulo) $t.$ O, $$ \beta^2 - 4pt = -19. $$ Esto significa que la forma cuadrática positiva $$ \langle p, \beta, t \rangle $$ tiene un discriminante $-19.$ Una secuencia finita de pasos de reducción lleva esto a una forma reducida. Como la única forma reducida es $\langle 1,1, 5 \rangle,$ hemos producido una matriz de 2 por 2 de enteros $R$ con determinante $1.$ Con $H$ la matriz hessiana de $$ p x^2 + \beta x y + t y^2 $$ y $G$ la matriz hessiana de $x^2 + xy + 5 y^2,$ tenemos $$ R^t H R = G. $$ Nombre $$ Q = R^{-1}, $$ esto también es determinante $1,$ con $$ Q^t G Q = H. $$ La columna izquierda de $Q$ da una representación de $p$ por $x^2 + xy + 5 y^2.$

Answer 4

Escribe $f(x, y)$ para su $x^2+xy+5y^2$ .

Como señaló Jack D'Aurizio, $f$ es el sólo forma cuadrática binaria reducida del discriminante $-19$ . Así que si cualquier forma cuadrática de discriminante $-19$ representa $n$ , $f$ lo hace.

El resultado pertinente es: Un número entero $n$ se representa adecuadamente mediante una forma cuadrática de discriminante $D$ si $D$ es un cuadrado módulo $4n$ . (Esto está en, por ejemplo, [Granville], Proposición 4.1.)

Si $f$ representa $n$ incorrectamente, entonces $f(t, u)=n$ donde $t$ y $u$ tienen un factor común $>1$ , en cuyo caso $n$ también tiene ese factor. Si $n$ es primo, eso sólo podría ocurrir si $n\mid t$ y $n\mid u$ , en cuyo caso $f(t, u)\geqslant n^2>n$ .

Por lo tanto, para el primer $p$ alguna forma cuadrática de discriminante $-19$ representa $p$ si $f$ representa $p$ si $f$ representa $p$ correctamente si $-19$ es un cuadrado módulo $4p$ (por el resultado anterior). Por reciprocidad cuadrática, esto equivale a $4p$ siendo un módulo cuadrado $-19$ lo que ocurre si $p$ es un cuadrado módulo 19 (es decir, 0, 1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16, 17). Para un primo impar $p$ Esto equivale a $p$ siendo un cuadrado módulo 38 (es decir, 1, 5, 7, 9, 11, 17, 19, 23, 25, 35). Las clases de residuos 0 y 19 sólo se utilizan para $p=19=f(-1, 2)$ .

[Granville] Andrew Granville. Formas cuadráticas binarias. https://dms.umontreal.ca/~andrew/Cursos/Capítulo4.pdf