Regla integral de Leibniz para resolver integrales

Question

Estoy dando como tarea resolver estas integrales

1) $\int \limits_{0}^{1} \frac{\arctan(y x)}{x \sqrt{1-x^2}}dx$

2) $\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{\tan x}dx$ con el toque de $0\leq y \leq 1$ y $\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\arctan( y \tan x)}{\tan x}dx$

Si alguien pudiera resolver alguno de ellos porque soy nuevo en esto y no tengo ni idea de cómo proceder.

Gracias.

Answer 1

$$I_1(y)=\int_0^1 \frac{\arctan(yx)}{x\sqrt{1-x^2}}dx\Rightarrow I_1(0)=0$$ $$I_2(y)=\int_0^{\pi/2}\frac{\arctan(y\tan x)}{\tan x}dx\Rightarrow I_2(0)=0$$

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Primero para $I_1$ , toma $\frac{d}{dy}$ en ambos lados (y utilizar la regla integral de Leibniz) $$I_1'(y)=\int_0^1\frac1{x\sqrt{1-x^2}}\frac{\partial}{\partial y}\arctan(yx)dx$$ $$I_1'(y)=\int_0^1\frac1{x\sqrt{1-x^2}}\frac{x}{1+y^2x^2}dx$$ $$I_1'(y)=\int_0^1\frac{dx}{(1+y^2x^2)\sqrt{1-x^2}}$$ A continuación, establezca $x=\sin(u)$ : $$I_1'(y)=\int_0^{\pi/2}\frac{du}{1+y^2\sin^2u}$$ A continuación, establezca $u=t/2$ : $$I_1'(y)=\int_0^\pi\frac{dt}{2+y^2-y^2\cos t}$$ Entonces dejemos que $x=\tan(t/2)$ : $$I_1'(y)=2\int_0^\infty \frac{1}{2+y^2+y^2\frac{x^2-1}{x^2+1}}\frac{dx}{x^2+1}$$ $$I_1'(y)=\int_0^\infty \frac{dx}{(1+y^2)x^2+1}$$ Y como es fácil demostrar que $$\int_0^\infty \frac{dx}{ax^2+1}=\int_0^\infty \frac{dx}{x^2+a}=\frac\pi{2\sqrt{a}}$$ Tenemos que $$I_1'(y)=\frac\pi{2\sqrt{1+y^2}}$$ Y como $I_1(0)=0$ tenemos que $$I_1(y)=\frac\pi2\int_0^y \frac{da}{\sqrt{1+a^2}}=\frac\pi2\sinh^{-1}(y)$$

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Como con $I_1$ calculamos $I_2$ tomando $d/dy$ en ambos lados lo que da $$I_2'(y)=\int_0^{\pi/2} \frac1{\tan x}\frac{\partial}{\partial y}\arctan(y\tan x)dx$$ $$I_2'(y)=\int_0^{\pi/2} \frac1{\tan x}\frac{\tan x}{1+y^2\tan^2x}dx$$ $$I_2'(y)=\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{1+y^2\tan^2x}$$ Podemos reescribirlo como $$I_2'(y)=\int_0^{\pi/2}\frac{\sec(x)^2dx}{(1+\tan(x)^2)(1+y^2\tan(x)^2)}$$ A continuación, utilizamos $u=\tan(x)$ para conseguir $$I_2'(y)=\int_0^\infty \frac{du}{(1+u^2)(1+y^2u^2)}$$ Entonces podemos utilizar fracciones parciales y una subtrama trigonométrica para obtener $$I_2'(y)=\frac\pi{2y+2}$$ Y como $I_2(0)=0$ tenemos que $$I_2(y)=\frac\pi2\int_0^y \frac{dt}{t+1}=\frac\pi2\ln(y+1)$$ Así que conectamos $y=1$ para conseguir que $$\int_0^{\pi/2}\frac{x}{\tan x}=\frac\pi2\ln2$$