¿Cómo integrar cuando dos funciones se multiplican entre sí?

Question

Creo que se trata de una regla de producto inversa, pero no he podido averiguar cómo invertirla.

$$\int_0^\inf \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}{\theta^{-(\alpha+1)}}*e^{-\frac{\beta}{\theta}}d\theta$$

Saqué las constantes pero luego me quedé atascado aquí: $$\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\inf {\theta^{-(\alpha+1)}}*e^{-\frac{\beta}{\theta}}d\theta$$

$\alpha$ y $\beta$ son constantes mientras que $\Gamma$ es una función.

Answer 1

El cambio de variable $\;u:=\dfrac {\beta}{\theta}\;$ debería ayudar mucho aquí dando $\;\theta:=\dfrac {\beta}u,\;d\theta=-\dfrac{\beta}{u^2}du\;$ y :

\begin {align} I( \alpha , \beta )&:= \dfrac { \beta ^ \alpha }{ \Gamma ( \alpha )} \int_0 ^{ \infty } { \theta ^{-( \alpha +1)}}\;e^{- \large { \frac { \beta }{ \theta }}}d \theta\\ &= \dfrac { \beta ^ \alpha }{ \Gamma ( \alpha )} \int_ { \infty }^0 \left ( \frac { \beta }u \right )^{-( \alpha +1)};e^{-u} \frac {- \beta {{u^2}\a, du \\ &= \dfrac { \beta ^ \alpha }{ \Gamma ( \alpha )} \int_0 ^{ \infty } \beta\left ( \frac {u}{ \beta } \right )^{ \alpha +1};e^{-u} \frac 1{u^2}\N-, du \\ &= \dfrac {1}{ \Gamma ( \alpha )} \int_0 ^{ \infty } u^{ \alpha -1};e^{-u}\N-,du \\ &= \dfrac { \Gamma ( \alpha )}{ \Gamma ( \alpha )}, \quad (*) \\ &=1 \end {align} $(*)$ de la definición de la $\Gamma$ función para $\,\alpha>0,\;\beta>0$ .