Posible duplicado:
Unidades y Nilpotentes
Dado $A^{2012}=0$ probar que $A+I$ es invertible y encontrar una expresión para $(A+I)^{-1}$ en términos de $A$ . ( $I$ es la matriz de identidad).
De manera más general: Una matriz (cuadrada) $A$ es invertible si y sólo si $\lambda=0$ no es un valor propio.
Independientemente de esto, tenemos que si $\lambda$ es un valor propio de $A$ entonces $\lambda+\mu$ es un valor propio de $A+\mu I$ : si $\mathbf{x}$ es un vector propio de $A$ correspondiente $\lambda$ entonces $(A+\mu I)\mathbf{x} = A\mathbf{x}+\mu I\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}+\mu\mathbf{x} = (\lambda+\mu)\mathbf{x}$ .
También independientemente de todo esto, si $\lambda$ es un valor propio de $A$ entonces $\lambda^n$ es un valor propio de $A^n$ . (Cuidado, sin embargo, este es no reversible: una rotación de $90^{\circ}$ del plano no tiene valores propios sobre $\mathbb{R}$ pero su cuadrado tiene un valor propio $-1$ . El cuadrado de la identidad tiene $(-1)^2$ como valor propio, pero la identidad no tiene $-1$ como valor propio).
Así que: $$\begin{align*} A+I\text{ is invertible}&\iff 0\text{ is not an eigenvalue of }A+I\\ &\iff -1\text{ is not an eigenvalue of }A. \end{align*}$$ Y si $A^n=0$ para algunos $n\gt 0$ entonces $-1$ no es un valor propio de $A$ .
@CloudJR: Ya lo hice: si $\lambda$ es un valor propio de $A$ entonces $\lambda^n$ es un valor propio de $A^n$ . ¿Cuáles son los valores propios de la matriz cero?
Una matriz $A$ es nilpotente si y sólo si todos sus valores propios son cero. No es difícil ver también que los valores propios de $A+I$ serán todos iguales a $1$ (cuando añadimos $I$ a cualquier matriz, simplemente desplazamos su espectro en 1). Así, $A+I$ es invertible, ya que todos sus valores propios son distintos de cero.
Hay que tener cuidado: se puede tener una matriz para la que todos los valores propios sean $0$ pero la matriz no es nilpotente (porque no tiene "suficientes" valores propios); por ejemplo, la matriz $3\times 3$ matriz sobre $\mathbb{R}$ dado por $$\left(\begin{array}{rrr}0 & -1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right).$$ El polinomio característico es $t(t^2+1)$ por lo que el único valor propio (real) es $0$ pero la matriz no es nilpotente. Así que depende de cómo se interprete "todos sus valores propios" (cierto si eso significa "en un cierre algebraico del campo terreno").
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Por otro lado, si I + A no es invertible existe un v para que $0 = (I + A) v$ Así que $Av = -v, A^{2012}v = v, $ A no nilpotente.
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@ugoolm Si estás pidiendo ayuda con tu tarea de MATH 1115 que debes entregar este lunes, deberías proporcionar un poco más de contexto y dónde estás atascado.
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Creo que bastaría con una pista como "¿Recuerdas la demostración de la fórmula geométrica?".
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Por favor, no lo hagas. Una pregunta cerrada no tiene nada de malo, mientras que una no-pregunta impenetrable no tiene ningún valor.
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Caso especial del método de los múltiplos más simples , a saber $$\color{#c00}{A^n = 0}\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{A-c}\, =\, \dfrac{A^{n-1}+\cdots + c^{n-1}}{\color{#c00}{A^n}-c^n}\, =\, -c^{-n}(A^{n-1}+\cdots + c^{n-1})$$