Diferenciación bajo signo integral (función arctan)

Question

Tengo la integral $$ F(s) = \int_{0}^{\infty} \frac{\arctan(sx)}{x(1+x^2)} dx$$ y se supone que debo resolverlo encontrando $F'(s)$ . Así que obtenemos $$ F'(s) = \int_{0}^{\infty} \frac{\partial F}{\partial s} \frac{\arctan(sx)}{x(1+x^2)} dx =...= \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+s^2x^2+x^2+s^2x^4} dx $$ y no veo cómo puedo resolver esta integral. ¿Debo intentar otro enfoque?

Answer 1

Fracciones parciales: $$ \int_0^\infty \frac{1}{(1+(sx)^2)(1+x^2)}\;dx = \frac{s}{s^2-1}\int_0^\infty \frac{s}{1+(sx)^2}\;dx + \frac{1}{1-s^2}\int_0^\infty\frac{1}{1+x^2}\;dx \\ =\frac{s}{s^2-1}\;\frac{\pi}{2}+\frac{1}{1-s^2}\;\frac{\pi}{2} =\frac{1}{s+1}\;\frac{\pi}{2} $$