Cómo afectan las operaciones de fila $\det(U)$ ?

Question

Podemos hacer operaciones de fila sin cambiar $\det(A)$ ' - Una cita de Introducción al álgebra lineal por G. Strang

Pero digamos que tengo una matriz triangular superior arbitraria $U$

$$U = \begin{bmatrix} a & a & a \\ 0 & b & b \\ 0 & 0 & c \\ \end{bmatrix}$$

Y realizo las siguientes operaciones de fila en $U$ para llevarlo a $U'$

$\frac{1}{a}R_1 \rightarrow R_1$

$\frac{1}{b}R_2 \rightarrow R_2$

$\frac{1}{c}R_3 \rightarrow R_3$

Entonces $U'$ es:

$$U' = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

Pero ahora $\det(U) = abc$ y $\det(U') = 1$ Por lo tanto $$\det(U) \neq \det(U')$$

Todo lo que he hecho es realizar operaciones de fila en $U$ para llevarlo a $U'$ pero al realizar esas operaciones de fila, sus determinantes pierden la igualdad. ¿Cómo puede ser eso posible?

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Entonces, ¿cómo se resuelve esta aparente contradicción? Supongo que debo tener algún concepto erróneo sobre las operaciones de fila o sobre los determinantes.

Además, en un nivel más profundo, ¿qué interpretación/significado geométrico tiene escalar las filas como he hecho trayendo $U$ a $U'$ ¿tiene en el determinante? Dado que los determinantes de $U$ y $U'$ obviamente ya no son iguales, geométricamente ¿qué hace este escalamiento al determinante?

Answer 1

El determinante es una función alternante multilineal sobre las filas (o las columnas, como se quiera) de la matriz. Lo que nos interesa aquí es la multilinealidad.

Así que aquí, $ \det(U) = \det(R_1, R_2, R_3)$ . La matriz $U'$ obtenido como usted propone tiene determinante $\det(\frac{R_1}a, \frac{R_2}b, \frac{R_3}c)$ , es decir, por multilinealidad, $$\begin{align*}\det(U') &= \frac 1a \det(R_1, \frac{R_2}b, \frac{R_3}c)\\ &= \frac 1{ab} \det(R_1, R_2, \frac{R_3}c)\\ &= \frac 1{abc} \det(R_1, R_2, R_3)\\& = \frac 1{abc} \det(U)\end{align*}$$

Como menciona @quid en su comentario, las operaciones de fila consisten en añadir un múltiplo de una fila a otro fila. Esta operación no afecta al determinante debido a su comportamiento alterno y multilineal:

$\det(R_1, R_2 + a R_1, R_3) = \det(R_1, R_2, R_3) + a\det(R_1, R_1, R_3)$ por la linealidad, y como es alternante, $\det(R_1, R_1, R_3) = 0$ así que $\det(R_1, R_2 + a R_1, R_3) = \det(R_1, R_2, R_3)$

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Edición: Geométricamente hablando, el determinante es el hipervolumen del $n^{th}$ -paralelogramo generado por las filas de su matriz, tomadas como vectores. Así, si tu matriz no es invertible, es decir, sus filas son linealmente dependientes, entonces las filas forman un paralelogramo de volumen $0$ y así sucesivamente.
Por ejemplo, para un $2\times2$ matriz, el determinante es el volumen (=superficie) del paralelogramo generado por sus dos filas. Si estas filas son linealmente dependientes, puedes ver que tu paralelogramo es plano, por lo que tiene un volumen (=superficie) de $0$ .

Dividir una fila por $a$ significa, para el determinante, dividir una de las longitudes de su paralelogramo por $a$ por lo tanto, dividiendo su volumen por $a$ .

Answer 2

La situación es la siguiente:

• Añadir un múltiplo de una fila a otra: no cambia el determinante.
• Multiplicar una fila por un escalar $\lambda$ : multiplica el determinante por $\lambda$ .
• Intercambio de dos filas: multiplica el determinante por $-1$ .

Tal vez sólo la primera viene bajo las operaciones de la fila allí.

En cualquier caso te importa que no puedas realizar las operaciones que hiciste sin alterar el determinante. Multiplicando la primera fila por $1/a$ hará lo mismo con el determinante, etc. y entonces las cosas funcionan como el determinante original por $1/a$ , tiempos $1/b$ , tiempos $1/c$ es el nuevo.