En primer lugar, sólo estoy empezando a estudiar los resultados de la independencia en la teoría de conjuntos. Y hay un obstáculo que me confunde mucho. Probablemente este tipo de preguntas ya se han planteado, pero no he encontrado nada que me lo aclare. Soy nuevo en este tema, así que por favor siéntanse libres de corregirme si estoy usando terminología o razonamientos equivocados.
Así es como entiendo el razonamiento para demostrar que una declaración $\varphi$ no es un teorema de una teoría $T$ . Desde la lógica matemática sabemos que $T \not\vdash \varphi$ si y sólo si $\mbox{Con}(T + \neg \varphi)$ . Del teorema de completitud de Gödel se deduce que $\mbox{Con}(T)$ si y sólo si $T$ tiene un modelo (que es un set con una colección de operaciones, relaciones y constantes). Así que para demostrar algo como $\mathsf{ZFC} \not\vdash \mathsf{CH}$ debemos producir un modelo de $\mathsf{ZFC} + \neg\mathsf{CH}$ . Por otro lado, por el teorema de Incompletitud de Gödel esto no puede hacerse dentro de $\mathsf{ZFC}$ . Así que todos los resultados de consistencia deben ser relativos y ser de la forma $$\mbox{Con}(\mathsf{ZFC}) \rightarrow \mbox{Con}(\mathsf{ZFC} + \varphi).$$
Según he entendido, cuando se utiliza el método de forzamiento, se parte de la suposición como $\mbox{Con}(\mathsf{ZFC})$ que nos da un modelo (conjunto) $(M, \in)$ de $\mathsf{ZFC}$ de la que (utilizando el teorema de Löwenheim-Skolem) podemos obtener un modelo contable de $\mathsf{ZFC}$ . A continuación, ampliamos este modelo a otro modelo $(N, \in)$ que satisfaga alguna afirmación deseada $\varphi$ obtener un modelo de $\mathsf{ZFC} + \varphi$ . Este razonamiento me parece perfectamente correcto, ya que estamos trabajando con set modelos de $\mathsf{ZFC}$ cuya existencia se basa en la suposición $\mbox{Con}(\mathsf{ZFC})$ .
La pregunta es sobre clase modelos de $\mathsf{ZFC}$ . Por ejemplo, existe el universo construible de Gödel $L$ que es un modelo para $\mathsf{ZFC} + V = L$ (y también para $\mathsf{AC}$ y $\mathsf{CH}$ ). Mi pregunta principal es
¿Cómo podemos deducir formalmente de la existencia de tal modelo (de clase) que $$\mbox{Con}(\mathsf{ZFC} + V = L)?$$ En otras palabras, cómo la existencia de un modelo de clase para $T$ implica $\mbox{Con}(T)$ ?
¿Existe algún tipo de teorema de completitud de Gödel para clase ¿Modelos? O de nuevo estamos empezando con algunos set modelo de $\mathsf{ZFC}$ y la construcción de $L$ en su interior? Si es así, ¿cómo cambia esto la prueba de que $L$ es un modelo de $\mathsf{ZFC}$ ? Parece que me falta algún dato básico (y técnica comúnmente utilizada) que permita pasar de modelos de clase a modelos de conjunto. Estaría muy agradecido si alguien pudiera explicarme con detalle cómo se resuelve esta cuestión. ¡Gracias de antemano!
