$X \sim Exp(\frac{1}{3}) $ Si $Y= \max(X,2)$ Encuentre $E(Y)$

Question

$X \sim Exp(\frac{1}{3}) $

Si $Y= \max(X,2)$ Encuentre $E(Y)$

Lo hice de dos maneras, ¿alguien puede señalar mi error?

El primero

$f(y)= \begin{cases} \ 2, & \text{if $ 0<x \le2$ } \\[2ex] X, & \text{if $ 2<x< \infty$ } \end{cases}$

$E(Y)=E(Y|0<x<2)P(0<x\le2)+E(Y|2<x<\infty)P(2<x<\infty)$

$E(Y)=2(1-e^{\frac{2}{3}})+e^{\frac{-2}{3}}\int \dfrac{x}{3}e^{-\frac{x}{3}} dx=2(1-e^{\frac{2}{3}})+\dfrac{e^{\frac{-2}{3}}}{3}\bigg(\bigg(-3xe^{-\frac{x}{3}}\bigg)_{2}^{\infty}-\bigg(9e^{-\frac{x}{3}}\bigg)_{2}^{\infty}\bigg)=2-2e^{\frac{-2}{3}}+\dfrac{e^{\frac{-2}{3}}}{3}\bigg(\bigg(6e^{-\frac{2}{3}}\bigg)+\bigg(9e^{-\frac{2}{3}}\bigg)\bigg)=2-2e^{-\frac{2}{3}}+5e^{-\frac{4}{3}}$

Segunda vía

$E(Y)=\int \max(X,2)f(x)dx=\int_0^{2} 2f(x)dx+\int _{2}^{\infty}xf(x)dx=2(1-e^{\frac{-2}{3}})+\bigg(\bigg(-3xe^{-\frac{x}{3}}\bigg)_{2}^{\infty}-\bigg(9e^{-\frac{x}{3}}\bigg)_{2}^{\infty}\bigg)=2-2^{-\frac{2}{3}}+5e^{-\frac{2}{3}}=2+3e^{-\frac{2}{3}}$

Ahora no estoy seguro de cuál de ellas es la correcta y por qué, ¿alguien puede decírmelo?

Answer 1

En el primer método, se utiliza la ley de la expectativa total, es decir $E(Y)=E\,[E(Y\mid X)]$ .

Tenga en cuenta que

\begin {align} E(Y)&=E(Y \mid X \le 2)P(X \le 2)+E(Y \mid X>2)P(X>2) \\ &=E(2 \mid X \le 2)P(X \le 2)+E(X \mid X>2)P(X>2) \\ &=2P(X \le 2)+E(X \mathbf1_ {X>2}) \tag {1} \end {align}

En el segundo enfoque, se utiliza este teorema para calcular el valor esperado de cualquier función de $X$ directamente. Le sugiero que utilice este método.

\begin {align} E( \max (X,2))&= \frac {1}{3} \int \max (x,2)e^{-x/3} \mathbf1_ {x>0}\N- dx \\ &= \frac {2}{3} \int_0 ^2 e^{-x/3}\N, dx+ \frac {1}{3} \int_2 ^ \infty xe^{-x/3}\N-, dx \tag {2} \end {align}

$(1)$ y $(2)$ dicen lo mismo, por supuesto.

Integrando por partes la segunda integral, efectivamente obtenemos $E(Y)=2+3e^{-2/3}$

Answer 2

Así es como yo procedería (similar a tu segundo método):

$E(Y)=\int_0^22\times\frac{1}{3}e^{\frac{-x}{3}}dx + \int_2^\infty x\times\frac{1}{3}e^{\frac{-x}{3}}dx$

$=2(1-e^{\frac{-2}{3}}) +3\int_\frac{2}{3}^\infty t\times e^{-t}dt$

$=2(1-e^{\frac{-2}{3}}) +3\Gamma(2,\frac{2}{3})$

$=2+3e^{\frac{-2}{3}}$

Aquí tienes un sencillo tutorial para resolver la Integral Gamma incompleta http://mathworld.wolfram.com/IncompleteGammaFunction.html