Análogo de conjuntos semialgebraicos sobre números complejos

Question

Los conjuntos semialgebraicos reales son conjuntos definibles en el lenguaje de los reales: $(\mathbb{R},0,1,+,\cdot)$ que tiene como extensión de definición $(\mathbb{R},0,1,+,\cdot,\leq)$ por el hecho útil de que $a< b$ si existe $t\in\mathbb{R}$ tal que $(b-a)t^2=1$ .

Para bien o para mal, el mismo truco no funciona para el lenguaje de los números complejos. ¿Existe un nombre para los tipos de conjuntos y funciones definibles sobre los números complejos equipados con el símbolo del valor absoluto? Me imagino algo parecido a los conjuntos definibles sobre campos locales, en los que la estructura lógica proporciona un símbolo de valoración y una ordenación en el grupo de valoración. ¿Se ha estudiado la versión compleja de estos conjuntos?

Answer 1

Si añade $|\cdot|$ a la lengua de $\Bbb{C}$ e interpretarlo como valor absoluto, entonces la línea real $\Bbb{R}$ se puede definir como $\{z \mid |z| = z \lor |z| = -z\}$ y estás viendo $\Bbb{C}$ como $\Bbb{R}$ -de la álgebra. Los conjuntos definibles en $\Bbb{C}^n$ coinciden entonces con los subconjuntos semialgebraicos de $\Bbb{R}^{2n}$ (como ha supuesto Lord Shark en su comentario).