La bola perforada no es homeomórfica al espacio euclidiano

Question

Otro día cualquiera con otra (gran) conversación matemática cualquiera. Un amigo y yo llegamos a preguntar esto:

El problema. Demostrar que $B(0,r) \setminus \{0 \} \subseteq \mathbb{R}^n$ no es homeomorfo a las bolas abiertas para $r > 0$ .

Yo todavía no he tenido un curso de topología y mi amigo acaba de empezar un curso de topología, así que intentamos encontrar una solución lo más elemental posible.

Parece bastante fácil, aunque nos costó...

• Basta con demostrar que no es homeomorfo a $\mathbb{R}^n$ .
• La mayoría de los invariantes topológicos elementales no funcionan.

Lo mejor que se nos ocurrió, es calcular el grupo fundamental y tomar generalizaciones del grupo fundamental para $n > 2$ . Eso debería funcionar.

Así que esta es mi pregunta: ¿Hay una manera diferente de demostrar este resultado?

Answer 1

Como se ha hecho aquí se puede utilizar el siguiente invariante topológico:

Para cada subconjunto compacto $K$ de $X$ hay un compacto $K^\prime\subset X$ que contiene $K$ tal que $X-K^\prime$ está conectado.

$\mathbb{R}^n$ tiene esta propiedad, pero $\mathbb{R}^n-\{0\}$ (o $B(0,r)-\{0\}$ ) no lo hace.