subgrupo máximo de un grupo

Question

Puede que sea una pregunta muy trivial, pero no encuentro una respuesta definitiva de "sí" o "no" en mi libro de texto:

Si $M \subsetneq G$ es un subgrupo máximo de un grupo $G$ Entonces, como $M \lhd \textbf{N}_{G}(M)$ (el normalizador de $M$ en $G$ ), debemos tener, por el requisito de la contención adecuada, $\textbf{N}_{G}(M) = G$ .

¿No significa eso que todo subgrupo maximal $M \subsetneq G$ es automáticamente normal en $G$ ?

Gracias.

Answer 1

Si asume que $G$ satisface la condición de normalizador ( $H \lneqq G$ implica $H \lneqq N_G(H)$ ) entonces es cierto que los subgrupos máximos son normales. En efecto, si $M$ es un subgrupo máximo, entonces $M = N_G(M)$ o $M$ es un subgrupo normal.

En general, es posible que un subgrupo maximal se autonormalice. El ejemplo más pequeño viene dado por el grupo simétrico $S_3$ donde los subgrupos de orden $2$ son máximas pero no normales.