Encontrar todas las soluciones reales de $\sqrt{x} - \sqrt{2-2x} = 1$

Question

Cuadrar ambos lados de $\sqrt{x} - \sqrt{2-2x} = 1$ y reordenando llego a la cuadrática $9x^2 - 10x + 1 = 0$ que tiene soluciones $x=1/9$ y $x=1$ . No entiendo por qué $x=1$ se ajusta a la ecuación original pero $x=1/9$ no lo hace (el lado izquierdo da $-1$ ).

Answer 1

$$\sqrt{x} - 1 = \sqrt{2-2x}$$ $$x -2\sqrt{x} + 1 = 2-2x$$ $$3x -2\sqrt{x} - 1 = 0$$

Ahora bien, si $\sqrt{x} = u$ que tenemos: $$3u^2 -2u - 1 = 0$$ $$u = 1 \vee u=-\frac{1}{3}$$

En el caso $u = 1$ hemos encontrado la solución $x = 1$ . Pero en el caso $u = -\dfrac{1}{3}$ nos encontramos con que:

$$\sqrt{x} = -\frac{1}{3}$$

¿Ves el problema ahora?

Answer 2

escribimos $$\sqrt{x}=1+\sqrt{2}\sqrt{1-x}$$ después de elevar al cuadrado obtenemos $$3(x-1)=2\sqrt{2}\sqrt{1-x}$$ tenemos $$1\le x$$ y $$x\geq 1$$ así $x=1$ es la única solución.

Answer 3

Al igual que dividir por $f(x)$ te suelta la solución $x_0$ donde $f(x_0)=0$ Multiplicar por $f(x)$ puede añadirte soluciones, así que tienes que comprobar si las soluciones que tienes funcionan realmente.

Answer 4

Dejemos que $x=u^2$ para que $\sqrt x=u$ y $u\ge0$ .

Entonces $$\sqrt{2-2u^2}=u-1$$

lo que implica $u\ge1$ , lo que implica $2-2u^2\le0$ .

No hace falta ir más allá, la única solución es $u=1$ .