Si $\gamma_n$ son raíces de $\tan x = x$ cada función puede expandirse en forma de $\sum_n a_n \sin(\gamma_n x)$ ?

Question

Resolviendo una EDP lineal, obtuve la solución general $$f(x,t)=\frac{e^{-t/\tau}}x\sum^\infty_{n=1}a_n\sin(\gamma_n x)$$ donde $\gamma_n$ es la enésima raíz positiva de $\tan x=x$ .

Para satisfacer la condición inicial requerimos $$\phi(x)=\frac1x\sum^\infty_{n=1}a_n\sin(\gamma_n x)$$

Desde el punto de vista físico, $\phi(x)=f(x,0)$ representa el perfil de temperatura inicial del objeto, que puede definirse arbitrariamente. Por lo tanto, supuse que dicha forma de expansión es posible para la mayoría de los $\phi(x)$ pero no puedo probarlo.

¿Cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para expandir una función $\phi(x)$ en $\frac1x\sum^\infty_{n=1}a_n\sin(\gamma_n x)$ ?

Cabe destacar, $\gamma_n\sim\frac{\pi}{2}+n\pi$ por lo que esta serie es "casi" una serie sinusoidal de Fourier.

Cuando esta expansión resulta ser matemáticamente posible, ¿cómo se podría extraer el $a_n$ s? Una forma posible es realizar la transformada de Fourier en ambos lados, de manera que $$\int^\infty_{-\infty}x\phi(x)e^{-i\omega x}dx = \sum^\infty_{n=1}a_n\delta(\omega-\gamma_n)$$ suponiendo que $\omega>0$ , pero a menudo se tiene conocimiento de $\phi(x)$ sólo en una región físicamente significativa $[0,a]$ .

Answer 1

Las funciones $x$ y $\sin(\gamma_j x)$ con $\tan(\gamma_j) = \gamma_j$ son ortogonales en el intervalo $[0,1]$ . Convenientemente normalizada, creo que obtenemos una base ortonormal de $L^2[0,1]$ (y creo que esto se puede obtener de la teoría de Sturm-Liouville). Así, para cualquier función cuadrada-integrable $f$ en $[0,1]$ deberíamos tener la expansión $$ f(x) = c_0 x + \sum_{j=1}^\infty c_j \sin(\gamma_j x)$$ (convergiendo en $L^2$ ) donde $$ c_0 = 3 \int_0^1 f(x) x\; dx,\ c_j = \frac{2}{\sin^2(\gamma_j)} \int_0^1 f(x) \sin(\gamma_j x)\; dx$$