¿Qué es la "compacidad aproximada"? ¿Cuál es un ejemplo de conjunto aproximadamente compacto?

Question

He leído esto:

Una propiedad de un conjunto $M$ en un espacio métrico $X$ exigiendo que para cualquier $x\in X$ toda secuencia minimizadora $y_n\in M$ (es decir, una secuencia con la propiedad $\rho(x,y_n)\to\rho(x,M)$ ) tiene un punto límite $y\in M$ .

¡Estoy confundido con el concepto! ¿Puede alguien darme un ejemplo de un conjunto aproximadamente compacto? Y también un conjunto aproximadamente compacto con respecto a $A$ ? Gracias.

Answer 1

He aquí un ejemplo sencillo de un conjunto aproximadamente compacto que no lo es.

Dejemos que $X=\Bbb N$ con la siguiente métrica $d$ :

$$d(m,n)=\begin{cases} 0,&\text{if }m=n\\ 1,&\text{if }m,n\in\Bbb Z^+\text{ and }m\ne n\\ 1,&\text{if }m=0\text{ and }n=1\\ 1,&\text{if }m=1\text{ and }n=0\\ 2,&\text{if }m=0\text{ and }n>1\\ 2,&\text{if }m>1\text{ and }n=0\;. \end{cases}$$

No es difícil comprobar que $d$ es una métrica que genera la topología discreta en $X$ .

Ahora dejemos que $M=X\setminus\{0\}$ Entonces

$$d(0,M)=\inf\{d(0,n):n\in M\}=d(0,1)=1\;.$$

Supongamos que $\langle n_k:k\in\Bbb N\rangle$ es una secuencia minimizadora para $0$ en $M$ Entonces $\langle d(0,n_k):k\in\Bbb N\rangle\to 1$ . Pero $d(0,m)=2$ para todos $m\in M\setminus\{1\}$ por lo que debe haber un $\ell\in\Bbb N$ tal que $n_k=1$ para todos $k\ge\ell$ y por lo tanto $\langle n_k:k\in\Bbb N\rangle\to 1\in M$ .

Si $m\in M$ entonces $d(m,M)=0$ y cualquier secuencia minimizadora para $m$ debe ser finalmente constante en $m$ y por lo tanto convergen a $m$ .

Así, $M$ es aproximadamente compacto. Sin embargo, $M$ es un conjunto discreto infinito, por lo que ciertamente no es compacto.

Answer 2

Es fácil demostrar que todo conjunto aproximadamente compacto es cerrado.

Este es un ejemplo de un conjunto cerrado sin esa propiedad. Sea $X=\Bbb R^\omega$ sea el espacio de mapas $f:\Bbb N\to\Bbb R$ tal que $f(n)=0$ para casi todos los $n$ , dotado de la norma $||f||=\sum_{n=0}^\infty|f(n)|$ . Sea $I_n$ sea la función indicadora de $\{n\}$ . Entonces la secuencia $(I_n)_n$ no tiene un punto límite, por lo que su imagen $M$ es un subconjunto cerrado (y discreto) de $X$ . Desde $d(0,I_n)=1$ para cada $n$ tenemos $d(0,M)=1$ Sin embargo, $(I_n)_n$ no tiene punto límite en $M$ Así que $M$ no es aproximadamente compacto.

Todo subconjunto compacto de un espacio métrico es aproximadamente compacto. Para un subconjunto no compacto aproximadamente compacto de $X$ , toma $L=\{f\mid 0\le f(0),\, f(n)=0\forall n>0\}$ .