Conservación de las Restricciones Matemáticas al derivar la Energía y el Momento de $F=ma$

Question

Antecedentes:

• A partir de $F = ma$ integrando con respecto al tiempo, y utilizando cálculos básicos, se puede obtener $\int Fdt = m (v_f - v_i)$
• A partir de $F = ma$ integrando con respecto a la distancia, y sustituyendo $a\ ds = v\ dv$ (del cálculo), se puede derivar $\int Fdx = KE_f - KE_i$

(Obviamente me importan estos resultados porque, cuando se combinan con $F_{ab} = -F_{ba}$ En el caso de la conservación de la energía, se da la conservación del momento y un punto de partida para la conservación de la energía, pero para esta pregunta no voy a considerar esta parte de la derivación).

En 1-D, los dos resultados citados tienen sentido para mí: el punto de partida es una EDO de segundo orden, y los dos resultados forman un sistema acoplado de dos EDO de primer orden. Esto es precisamente lo que las matemáticas dicen que debería ser posible: el número de restricciones matemáticas se ha conservado.

Pregunta:

Una derivación similar (algo más complicada) es posible en 3 dimensiones, pero me resulta más difícil clasificar las restricciones matemáticas resultantes y asegurarme de que la transformación no añade o elimina restricciones:

• Punto de partida: $\vec{F}=m\ddot{\vec{s}}\ \rightarrow$ 3 ODES de segundo orden acoplados
• Resultado 1: $\int \vec{F}dt = m(\dot{\vec{s}_f} -\dot{\vec{s}_i})\ \rightarrow$ 3 EDOs de primer orden acopladas (considerando el estado inicial como condición de contorno)
• Resultado 2: $\int \vec{F}\cdot d\vec{s} = \frac{1}{2}m(\dot{\vec{s}_f} \cdot \dot{\vec{s}_f}) - KE_i\ \rightarrow $ No sé cómo clasificar esto
  • Reescribiendo esto como $\int \vec{F}(x,y,z)\cdot d\vec{s} = \frac{1}{2}m(\dot{x}_f^2 +\dot{y}_f^2 +\dot{z}_f^2 ) - KE_i $ aclara que se trata de una única EDO no lineal con las primeras derivadas de 3 variables dependientes diferentes en ella.

Las matemáticas dicen que un sistema de 3 EDOs de segundo orden acopladas puede reescribirse como un sistema de 6 EDOs de primer orden acopladas, pero obviamente sólo tengo 4 ecuaciones. ¿Qué tipo de EDO es el resultado 2? ¿Una única EDO de primer orden? ¿Una "triple" EDO de primer orden con 3 variables dependientes?

En última instancia, estoy buscando para tranquilizar a mí mismo que conmutar el problema 'resolver $F=ma$ La inclusión de la expresión "resolver la conservación del momento y la conservación de la energía" en el problema no añade ni elimina restricciones matemáticas. Si alguien puede remitirme a un libro de texto que aborde esta idea, también lo agradecería.

Editar:

Pensándolo bien, creo que me he equivocado. $F=ma$ es una ecuación diferencial con el tiempo como variable independiente, por lo que integrar con respecto al tiempo (como es necesario para derivar la conservación del momento) cambia el orden, y en realidad ya no es razonable esperar dos ecuaciones diferenciales de primer orden acopladas como resultado. De hecho, podríamos integrar la Conservación del Momento wrt $t$ de nuevo, y entonces ya no tendríamos una ecuación diferencial en absoluto.

Dado que la integración es una técnica válida para la resolución de ecuaciones diferenciales, ahora parece que la conservación del momento podría ser vista como una solución a $F=ma$ y, por lo tanto, se podría esperar que describiera toda la información que está presente en la EDO original.

• Eso haría que el $F=ma$ -La derivación de la Conservación del Momento es lógica (desde la perspectiva de la Conservación de las Restricciones) tanto en 1-D como en 3-D, y luego hace la verdadera pregunta "¿De dónde viene la Conservación de la Energía, desde la perspectiva de las restricciones?

• Por otra parte, el problema de la colisión elástica 1-D no puede resolverse sólo con la conservación del momento, sino que también se requiere la conservación de la energía. Dado que la conservación de la energía puede derivarse de $F=ma$ y el cálculo solo, debe estar representando una restricción que está en la ecuación original. Así, $F=ma$ tiene más información que la Conservación del Momento.

Otras cosas en las que he estado pensando:

• En realidad, esta pregunta puede estar relacionada con las ecuaciones integrodiferenciales, de las que no sé nada.
• Puede haber algunas sutilezas relacionadas con $F$ que me falta, y escribirlo como $\vec{F}$ en lugar de $\vec{F}(\vec{s},\dot{\vec{s}},t)$ puede estar barriendo bajo la alfombra.

Answer 1

Dejemos que $(x,y)\in X\times X$ con $x\neq y$ . Desde $x,y\in X$ , $x\neq y$ y $X$ es Hausdorff, existe un conjunto abierto $\mathcal{U}$ y $\mathcal{V}$ tal que $x\in\mathcal{U}$ , $y\in\mathcal{V}$ y $\mathcal{U}\cap\mathcal{V}=\varnothing$ . Ahora, $\mathcal{U}\times\mathcal{V}$ es un subconjunto abierto de $X\times X$ . Contiene $(x,y)$ . ¿Se cruza con $D$ ?

Por el contrario, supongamos que $D$ está cerrado, y dejemos que $x,y\in X$ , $x\neq y$ . Entonces $(x,y)\notin D$ por lo que existe un subconjunto abierto $\mathscr{O}$ tal que $(x,y)\in\mathscr{O}\subseteq X\times X - D$ . ¿Sabe usted algo sobre los conjuntos abiertos de un tipo especial en $X\times X$ que puede permitirle obtener conjuntos abiertos de $X$ $\mathcal{U}$ y $\mathcal{V}$ como en el párrafo anterior?

Answer 2

(No es una respuesta como tal, es más bien un comentario y una sugerencia).

Escribiste "Por otro lado, el problema de la colisión elástica en 1-D no puede resolverse sólo con la conservación del momento, también se requiere la conservación de la energía. "

En realidad, el problema de la colisión elástica 1D puede resolverse con (i) la conservación del momento (COM) (ii) la aplicación de la simetría (iii) la aplicación de la relatividad galileana, donde (ii) y (iii) sustituyen a la COKE (conservación de la energía cinética).

Por lo tanto: - plantee su problema 1D en el marco inercial original y luego cambie las velocidades al marco de momento neto cero, conservando la masa. Entonces las velocidades "después de la colisión" vienen dadas simplemente por la inversa de las velocidades "antes de la colisión". A continuación, vuelva al marco original para encontrar las velocidades "después de la colisión" en ese marco.

Tal vez esto no te ayude porque parece que he sustituido una restricción (COKE) por dos nuevas restricciones (simetría, relatividad galileana) pero tal vez esos ya son "axiomas ocultos" en tu modelo original.

También cualquier colisión elástica simple en 3D (por ejemplo, entre 2 esferas) puede considerarse una colisión en 1D a lo largo de la línea (eje) que une los dos centros. Entonces se puede aplicar la regla $$dV1 = +/-2.MCV.m2/(m1+m2)$$ donde m1,m2 son las masas de la esfera y MCV es la velocidad de cierre mutua y dV1 es el cambio en la componente a lo largo del eje de la velocidad de la esfera1 a través de la colisión. Con esta regla no se necesita COM o COKE.

Su pregunta tentativa "¿De dónde viene la conservación de la energía? La conservación de la energía, desde la perspectiva de las restricciones".

No estoy seguro de la "perspectiva de las restricciones", pero COKE puede derivarse de los principios (i), (ii) y (iii). Tengo una derivación en alguna parte. El $$V^2$$ el término en COKE viene de pitágoras $$(dVmag^2 = dVx^2 + dVy^2 + dVz^2)$$ La COKE es una regla útil, pero la COM, la simetría y el galrel son, en mi opinión, más "primitivos".

Answer 3

En teoría, el Momentum , Fuerza y Energía Las imágenes pueden contener la misma cantidad de información. En la práctica, las restricciones dadas y las herramientas matemáticas disponibles determinan qué imagen(es) utilizar.

Para "derivar" Energía de $ \mathbf{F} = m \mathbf{a}$ integramos a lo largo de la camino $\cdot d\mathbf{s}$ lo que significa que la Energía es un escalar (multivariable, no lineal (diferencial) con muchas incógnitas y unidades de $ml^2/t^2$ donde ' $m$ ' es la masa, ' $l$ ' es la longitud, y ' $t$ ' es el tiempo. Si no puedes integrar las fuerzas, o si la fuerza es no conservador y no se puede integrar la trayectoria, la ecuación sigue siendo integrodiferencial. Recuperaríamos las "restricciones perdidas" que resultan de la producto punto con ecuaciones vectoriales para la imagen de la Energía.

Como has adivinado correctamente, la Energía admite un sistema de 6 ecuaciones donde 3 momentos obtienen cada uno una ecuación independiente y una operación sobre una cantidad de Energía. El Lagrangiano y Hamiltoniano formulaciones, que están relacionadas por Transformación de Legendre , ambos son suficientes (véase hacia atrás y adelante derivaciones de Fuerzas). Cada una de ellas requiere conocimientos sobre el Momento, la Energía y matemáticas más complicadas. La Fuerza, la Energía y el Momento resuelven más rápidamente la mayoría de los problemas newtonianos (contraejemplos: fuerzas sobre objetos limitados y momentos canónicos), pero las ecuaciones vectoriales tienen más valor teórico y aplicación a las demás ciencias físicas.

Emmy Noether por ejemplo, formalizado la relación entre las cantidades conservadas y las simetrías físicas utilizando la imagen lagrangiana. Demostró que la conservación del Momento, la Energía y el Momento Angular son el resultado de que las leyes físicas son constantes a través del espacio, el tiempo y la orientación, respectivamente.

Algunas de las respuestas/discusiones afirman que las restricciones que faltan pueden recuperarse con la versión angular de cada una de estas imágenes. Esa opinión es claramente falsa. Podemos derivar $\mathbf T = \mathbf I \ddot{\boldsymbol \theta}$ tomando $\mathbf r \times \left(\mathbf F = m \mathbf a \right)$ lo que significa Pares son una consecuencia de las Fuerzas. Cuando tomamos $\left( \mathbf T = \mathbf I \ddot{\boldsymbol \theta} \right) \cdot d\boldsymbol \theta$ , recuperamos la Energía Angular escalar lo que significa que la rotación sufre la misma limitación (de la que también se recupera con las formulaciones hamiltoniana y lagrangiana).

Utilicé Thornton y Marion para mecánicos intermedios y fue genial.

Answer 4

Se pueden considerar las cantidades

• $\int F_x\,dx=\int m\ddot{x}\,dx=\frac{1}{2}m(\dot{x}_f^2-\dot{x}_i^2)$
• El $y$ versión de arriba
• El $z$ versión de arriba

¿Son estos los que buscas? Estas tres cantidades no suelen considerarse en los problemas estándar, pero me parecen válidas. Tu "Resultado 2" es la suma de las tres ecuaciones que aparecen aquí.

Answer 5

Introducción

Soy el autor original de esta pregunta (hace 9 meses); gracias a los comentarios y a las respuestas que he recibido aquí, creo que he elaborado una respuesta con la que estoy satisfecho.

Formas abreviadas utilizadas en esta respuesta:

• CoLM = Conservación del momento lineal
• CoAM = Conservación del momento angular
• KEB = el balance de energía cinética
• CoE = Conservación de la energía

Respuesta

La ecuación derivada en la pregunta es en realidad KEB. El KEB no proporciona tanta información como el CoLM, pero debido a las simetrías de algunos problemas, los resultados específicos son más fáciles de extraer utilizando el KEB. El CoE completo, sin embargo, es una ecuación diferente, y sí incorpora nueva información: da cuenta del hecho de que el trabajo, el calor y la energía interna pueden interconvertirse, conectando el problema del movimiento con la energía interna y la transferencia de calor. Si se conocen las leyes de fuerza, el CoLM es todo lo que se necesita para determinar el movimiento, pero el CoE proporciona información sobre las fuentes/sumideros de calor y energía interna, información que no puede extraerse del CoLM.

Para abordar algunas de las cuestiones específicas planteadas en la pregunta:

• El CoLM contiene exactamente tanta información como F = ma
• La KEB no es una restricción nueva; es una especie de redundancia sobre el CoLM (en el sentido de que ambos nunca pueden ser incompatibles), pero [en dos o más dimensiones] contiene menos información que el CoLM y, por tanto, no puede utilizarse en su lugar. En muchos casos, las simetrías del problema son tales que el KEB por sí solo puede utilizarse para extraer resultados útiles. En esos casos, la información descartada (que estaba en CoLM pero no está en KEB) pertenece a aspectos del problema que no son de interés físico.
• El CdE no es redundante en el CdM; se ha introducido una nueva restricción, pero también nuevas variables (transferencia de calor y cambios en la energía interna)

• El problema de la colisión elástica en 1-D en realidad une todo bastante bien. En primer lugar, cuando se resuelve con CoLM, la adición de KEB no impone en realidad nuevas restricciones - como menciona steveOw, la nueva información proviene de una suposición de que la energía cinética perdida durante la etapa de compresión de la colisión es igual a la energía cinética ganada durante la etapa de extensión de la colisión, es decir, que la pérdida de calor/energía interna es cero, o equivalentemente la fuerza en un nivel de compresión dado es la misma durante la compresión y la extensión. Esta suposición se aplica en el KEB estableciendo el término fuente/sumidero a cero, pero también podría haberse sustituido en el CoLM (sin KEB) para obtener el mismo resultado (aunque la integración requerida volvería a derivar esencialmente el KEB).

  En segundo lugar, este es un ejemplo de cómo el KEB puede aprovechar las simetrías del problema para facilitar la extracción de resultados específicos. La simetría aquí es el hecho de que la fuerza en cualquier punto durante la compresión es la misma que la fuerza en el mismo punto durante la expansión. Según el KEB, la ley de fuerza completa es en realidad algo irrelevante siempre que se respete esta simetría - al menos no afecta a las velocidades finales. Sin embargo, se necesitaría una ley de fuerza completa para generar un resultado completo; conocemos las velocidades de los dos objetos, pero no sabemos cuánto tiempo pasaron interactuando, así que no sabemos cuál fue el punto de partida de las trayectorias posteriores a la interacción y, por tanto, no conocemos la posición de ninguno de los objetos. Una solución completa requeriría una ley de fuerza completa (y también podría admitir una ley de fuerza sin la simetría de compresión/expansión), y la única ecuación utilizada para resolver completamente el movimiento sería la CoLM.

Extra Tangencial: CoLM y CoAM

Un tema relacionado, que fue tocado en los comentarios por David Z, es la redundancia de CoLM y CoAM, y cómo esto se conecta con la idea de "conservación de las restricciones" de esta pregunta. El CoLM y el CoAM son un poco redundantes, pero un poco no, dependiendo de si se adopta la perspectiva de la vida real (que no se puede tener una fuerza o un momento que actúe en un punto) o la perspectiva simplificada (que las cargas distribuidas se pueden simplificar como una fuerza puntual resultante y un momento puntual resultante). En la perspectiva de la vida real, existe una correspondencia uno a uno entre las fuerzas y los momentos - cada momento es el resultado de una fuerza y un brazo de momento - y CoLM y CoAM son redundantes. La mecánica continua adopta la perspectiva de la vida real (todas las fuerzas se resuelven como tensiones, no hay fuerzas ni momentos puntuales), por lo que en la mecánica continua sólo se resuelve el CoLM (el CoAM no aportaría ninguna información adicional). En la perspectiva simplificada, se pierde la correspondencia fuerza-momento uno a uno - hay momentos puntuales que no tienen un brazo de fuerza y momento asociado - y el CoLM y el CoAM se convierten en condiciones distintas. La estática suele incluir la perspectiva simplificada, por lo que en la estática CoLM y CoAM (o, como se aplican más a menudo, Fnet = 0 y Tau_net = 0) son condiciones distintas.