dos funciones especiales

Question

¿Podemos encontrar dos funciones $f:[0,1/2] \to [0,1/2]$ y $g:[1/2,1] \to [0,1/2]$ tal que

1) $f$ es monótona creciente, pero $g$ es monótona decreciente

2) $\int_0^{1/2} f(t) dt \geq \int_{1/2}^1 g(t) dt$

3) $\int_0^{1/2} f(t)(1-t) dt \leq \int_{1/2}^1 g(t)(1-t) dt$

Hacer tales funciones $f$ y $g$ ¿Existe? He intentado demostrar que deben existir, pero no consigo encontrar los cálculos adecuados.

Answer 1

No, no existen. El $1-t$ a la izquierda en 3) es mayor que $\frac 12$ mientras que el de la derecha es inferior a $\frac 12$ Así que a partir de 2) tenemos $$\int_0^{1/2} f(t)(1-t) dt \geq \frac 12\int_0^{1/2} f(t) dt \geq \frac 12\int_{1/2}^1 g(t) dt\geq \int_{1/2}^1 g(t)(1-t) dt$$ que contradice 3) sin usar 1)