$G$ es un grupo de orden impar, muestra que$a^2=b^2 \Rightarrow a=b$

Question

Me encontré con esta pregunta y traté de probarla, pero mi solución me parece un poco sigilosa, ¿es correcta?

Dejemos$|G|=2k+1$, entonces tenemos:

$a=ae=aa^{|G|}=a^{|G|+1}=a^{2k+2}=(a^2)^{k+1}=(b^2)^{k+1}=b^{2k+2}=b^{|G|+1}=eb=b$

Me gustaria saber si me falta algo