¿Es el nervio discreto de una categoría pequeña un espacio completo de Segal?

Question

Leyendo el artículo de Rezk "Un modelo para la teoría de la homotopía de la teoría de la homotopía", he encontrado una observación que contradice una conjetura mía, pero no veo en qué me equivoco (quizá sea un error tonto, aunque no veo en qué falla el siguiente razonamiento).

Dada una categoría $\mathscr{C}$ y una subcategoría $\mathscr{W}\subset \mathscr{C}$ tal que $ob(\mathscr{W})=ob(\mathscr{C})$ decimos que una flecha $f$ en $\mathscr{C}$ es una equivalencia débil si pertenece a $\mathscr{W}$ . A continuación, definimos el espacio simplicial $N(\mathscr{C},\mathscr{W})$ que es, en dimensión $m$ dado por $\text{nerve} ( we(\mathscr{C}^{[m]}))$ , donde $we(\mathscr{C}^{[m]})$ es la subcategoría de la categoría de funtores $\mathscr{C}^{[m]}$ abarcados por equivalencias débiles puntuales.

Ahora tenemos dos ejemplos canónicos: el nervio discreto, donde $\mathscr{W}$ está dada por las identidades (es decir, es la categoría discreta subyacente), y el diagrama clasificador $\textbf{N}\mathscr{C}$ , donde $\mathscr{W}$ viene dada por los isomorfismos en $\mathscr{C}$ es decir, es el subgrupo máximo de $\mathscr{C}$ .

Me parece que el primero es un subcaso del segundo, ya que $\text{discnerve}(\mathscr{C})=\textbf{N}\tilde{\mathscr{C}}$ , donde $\tilde{\mathscr{C}}$ se obtiene de $\mathscr{C}$ conservando sólo las identidades. Pero Rezk demuestra $\textbf{N}\mathscr{C}$ sea siempre un espacio completo de Segal (para $\mathscr{C}$ explícitamente pequeño, aunque creo que siempre se entiende así, de lo contrario hay algunos problemas en la definición), mientras que a continuación dice que $\text{discnerve}(\mathscr{C})$ no siempre es tal.

¿En qué me equivoco? Gracias de antemano

Answer 1

Su afirmación $discnerve(\mathcal{C})=N\tilde{\mathcal{C}}$ es falsa. De hecho, la categoría $id(\mathcal{C}^{[m]})$ (identidades entre cadenas de $m$ mapas de $\mathcal{C}$ ), cuyo nervio es $discnerve(\mathcal{C})_m$ y la categoría $\tilde{\mathcal{C}}^{[m]}$ (identidades entre cadenas de $m$ mapas de $\tilde{\mathcal{C}}$ ), cuyo nervio es $N\tilde{\mathcal{C}}$ no tienen los mismos objetos.