¿Cómo puedo optimizar en el peso "w"?

Question

Si tengo $f(x),x > 0$ donde $g(x)$ es un límite superior de $f(x)$ y $h(x)$ es un límite inferior de $f(x)$ ¿Cómo puedo optimizar el peso? $w$ para aproximar $f(x)$ de esta manera? $f(x) = w\cdot g(x) + (1-w)\cdot h(x).$

Answer 1

Una idea a tener en cuenta es minimizar la suma de las distancias de $wg(x)+(1-w)h(x)$ de $g(x)$ y $h(x)$ e imponiendo $h(x)\le wg(x)+(1-w)h(x)\le g(x)$ . Esto puede ser captado por \begin {Ecuación} \begin {alineado} \min_ {w \in \mathbb R} \quad & \int_ {0}^{ \infty } |g(x)-wg(x)-(1-w)h(x)| dx + \int_ {0}^{ \infty } |wg(x)+(1-w)h(x)-h(x)| dx \\ \textrm {sujeto a} \quad & h(x) \le wg(x)+(1-w)h(x) \le g(x); \N - en el caso de la \\ \forall x \in [0, \infty ), \\ \end {alineado} \end {Ecuación} que se reduce a lo siguiente: \begin {Ecuación} \begin {alineado} \min_ {w \in \mathbb R} \quad & \int_ {0}^{ \infty } |w-1|[g(x)-h(x)] dx + \int_ {0}^{ \infty } |w|[g(x)-h(x)] dx \\ \textrm {sujeto a} \quad & h(x) \le wg(x)+(1-w)h(x) \le g(x); \N - \N - ud. \forall x \in [0, \infty ). \\ \end {alineado} \end {Ecuación} Esto equivale a lo siguiente: \begin {Ecuación} \begin {alineado} \min_ {w \in \mathbb R} \quad & \int_ {0}^{ \infty } (|w-1|+|w|)[g(x)-h(x)] dx \\ \textrm {sujeto a} \quad & h(x) \le wg(x)+(1-w)h(x) \le g(x); \N - \N - ud. \forall x \in [0, \infty ). \\ \end {alineado} \end {Ecuación}

En general, hay que tener en cuenta que si se asume $k(x)$ es continua en $[a,b]$ tenemos $\int_{a}^{b} |k(x)| dx=0$ si $k(x)\equiv 0$ casi en todas partes.