Carácter del módulo supersimétrico VOA de paridad trenzada -- pregunta inspirada en el programa Stolz-Teichner

Question

Comenzaré con algunos antecedentes que no son necesarios para la pregunta en sí, pero que pueden ser interesantes para el lector:

Formas modulares topológicas ( $TMF$ ) es una teoría de cohomología generalizada cuyo anillo de coeficientes $TMF^*(pt)$ está estrechamente relacionado con el anillo $MF_*:=\mathbb Z[c_4,c_6,\Delta]/c_4^3-c_6^2-1728\Delta$ de las formas modulares clásicas.
El objetivo principal de la Programa Stolz-Teichner es construir $TMF$ mediante métodos de la teoría cuántica de campos funcionales. Más concretamente, Stolz-Teichner quieren realizar cociclos para $TMF^*(X)$ como teorías de campo supersimétricas extendidas sobre $X$ es decir, funtores de la categoría 2 de supermanifolds de 0, 1 y 2 dimensiones sobre $X$ (es decir, equipado con un mapa para $X$ ) a alguna categoría 2 algebraica de destino (por ejemplo, álgebras y bimódulos).
En particular, un elemento en $TMF^*(pt)$ debe ser representado por un functor $Z$ de la categoría 2 de supermanifolds de 0, 1 y 2 dimensiones (no hay mapa a $X$ ) a la categoría 2 de las álgebras.

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Hay un mapa natural de $TMF^*(pt)$ a $MF_*$ (a $\mathbb Q$ -isomorfismo), y, en consecuencia, hay una manera natural de extraer una forma modular de una teoría de campo supersimétrica $Z$ . La construcción es aproximadamente la siguiente. Dada una teoría de campo supersimétrica, considere el valor $V:=Z(S^1_{per})$ de $Z$ en el colector $S^1$ dotado de la estructura del supermanifold periódico (sector de Ramond). El espacio vectorial $V$ viene dotado de una acción del semigrupo de anillos, lo que, a nivel infinitesimal, significa que hay dos operadores $L_0$ y $\bar L_0$ actuando en $V$ . Además, al ser la teoría supersimétrica, también hay una raíz cuadrada impar de $\bar L_0$ , llamado $\bar G_0$ (las teorías consideradas aquí son sólo medio supersimétricas: ninguna raíz cuadrada de $L_0$ ).

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La forma modular asociada a $Z$ viene dada por la evaluación de la teoría de campos en curvas elípticas (con su estructura de supermanifold de Ramond-Ramond). Dejando que $E_q:= \mathbb C^\times/\mathbb Z^q$ el valor de la forma modular en el punto $q$ es el supertrazado del operador $q^{L_0}+\bar q^{\bar L_0}$ en $V$ . A priori, esto no parece holomórfico... aquí es donde la supersimetría viene a ayudar: la existencia de una raíz cuadrada impar de $\bar L_0$ implica que el coeficiente de $\bar q^n$ es cero siempre que $n\not =0$ y así $Z(E_q)=str(q^{L_0}+\bar q^{\bar L_0})$ es efectivamente holomorfa como función de $q$ .

Mi pregunta es sobre la existencia de situaciones (ignorando $q$ ) donde $str(\bar q^{\bar L_0})$ es un no es cero constante.

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( Advertencia de anotación: $q$ , $L_0$ , $M$ que se encuentran a continuación corresponden a $\bar q$ , $\bar L_0$ y $V$ arriba)

La pregunta:
Dejemos que $V$ ser un $N=1$ álgebra de supervértices que es holomorfa, en el sentido de que $V$ tiene un único módulo irreducible (a saber $V$ mismo). Sea $M$ sea su único módulo irreducible de paridad trenzada (el sector Ramond de $V$ ). El álgebra de Ramond (abarcada por $L_n$ y $G_n$ , $n\in\mathbb Z$ ) actúa sobre $M$ . En particular, obtenemos un operador par $L_0$ y un operador de impar $G_0$ actuando en $M$ con sujeción a la relación $G_0^2 = L_0 - c/24$ . Esta relación implica que el supertrazo $str_M(q^{L_0-c/24})$ es una constante (a diferencia de una serie de potencias en $q$ ).

¿Hay algún ejemplo de álgebra de vértices $V$ como en el caso anterior, de manera que $str_M(q^{L_0-c/24})\not =0$ ?

Answer 1

Dicho objeto se describe en Dixon, Ginsparg, Harvey, La Bella y la Bestia: simetría superconforme en un módulo de monstruos Com. Math. Volumen 119, Número 2 (1988), 221-241. En el artículo de Huang se ofrece una construcción razonablemente explícita Una extensión no meromórfica del álgebra de operadores de vértice del módulo lunar .

En resumen: el álgebra de vértices de la red de Leech $V_L$ tiene una involución canónica $\theta$ y el $\theta$ -subálgebra de punto fijo tiene una categoría semisimple de módulos con 4 objetos simples (creo que esto es un resultado de Dong):

1. $V_L^\theta$ - el álgebra de punto fijo, con carácter $\frac{J(\tau)+\Delta(\tau)/\Delta(2\tau)}{2} + 12 = q^{-1} + 98580q + 10745856q^2 + \cdots$
2. $V_L^{\theta = -1}$ - la $-1$ eigenspace, con carácter $\frac{J(\tau)-\Delta(\tau)/\Delta(2\tau)}{2} + 12 = 24 + 98304q + 10747904 q^2 + \cdots$
3. $V_L(\theta)^\theta$ - parte del álgebra de vértices del monstruo, con carácter $\frac{J(\tau)-\Delta(\tau)/\Delta(2\tau)}{2} - 12 = 98304q + 10747904 q^2 + \cdots$
4. $V_L(\theta)^{\theta = -1}$ - el bit impar, con carácter $\frac{\Delta(2\tau)/\Delta (\tau) - \Delta(2\tau+1)/\Delta(\tau+1/2)}{2} = 4096q^{1/2} + 1228800q^{3/2} + 74244096 q^{5/2} + \cdots$

La suma de los módulos primero y cuarto tiene una estructura de producto canónico que te da la superálgebra de vértices holomórfica que quieres. Su módulo de paridad trenzada es la suma de los módulos segundo y tercero, cuyos caracteres difieren en la constante no nula 24.