Todas las combinaciones lineales diagonalizables sobre $ \mathbb {C}$ implica el desplazamiento.

Question

Deje que $A, B \in \mathcal {M}_n( \mathbb {C})$ de tal manera que para todos $x,y \in \mathbb {C}, xA+yB$ es diagonal.

Muestra que $AB=BA$ .

Mi idea (no es realmente un intento):

Basta con mostrar que $A$ y $B$ son diagonalizables simultáneamente. Entonces uno puede usar el teorema que dice $A$ y $B$ son diagonales al mismo tiempo si y sólo si se desplazan.

¿Alguien tiene una forma de probar que $A$ y $B$ son diagonalizables simultáneamente ?

Answer 1

Definición: Un par $ (A,B) $ de complejo $ (n \times n) $ -se dice que las matrices tienen Propiedad L si existen pedidos $ ( \lambda_ {i})_{i = 1}^{n} $ y $ ( \mu_ {i})_{i = 1}^{n} $ respectivamente de los valores propios de $ A $ y $ B $ de tal manera que $$ \forall (x,y) \in \mathbb {C}^{2}: \quad \operatorname {Spectrum}(x A + y B) = \{ x \lambda_ {i} + y \mu_ {i} \}_{i = 1}^{n}. $$

Por los Teoremas 3 y 4 de T.S. Motzkin, O. Taussky, Pares de matrices con la propiedad L. II Trans. Amer. Matemáticas. Soc. 80 (1955) 387-401 si $ \lambda A + \mu B $ es un lápiz en el que todas las matrices son diagonales, entonces $ (A,B) $ tiene la propiedad L, y además, $ A $ y $ B $ viaje de ida y vuelta.

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EDITAR:

Usando algunos conceptos de geometría algebraica, Motzkin y Taussky mostraron que el resultado anterior es válido para cualquier campo $ \mathbb {K} $ (si $ \mathbb {K} $ tiene características finitas, entonces asumieron además que $ \operatorname {char}( \mathbb {K}) \geq n $ ). Usando un análisis complejo, Kato (en su libro Teoría de Perturbación para Operadores Lineales , pp. 82-85) dio otra prueba que es válida sólo para $ \mathbb {C} $ . Usando el método de Kato, Friedland (en Una generalización del Teorema de Motzkin-Taussky de Álgebra Lineal 36 (1981) 103-109 ) y De Seguins Pazzis (en Sobre matrices y exponenciales de viaje Proc Amer. Matemáticas. Soc. 141 (3) (2013) 763-774 - Un acceso más fácil es en arXiv -) mostró generalizaciones del resultado anterior que son válidas sólo para $ \mathbb {C} $ .