Supongamos que B es una álgebra A finamente generada. Si B es un anillo noetheriano, ¿es A noetheriano?

Question

Sé cómo demostrar que A noetheriano implica B noetheriano utilizando el teorema de la base de Hilbert. Sin embargo, no fui capaz de producir una respuesta a la inversa que probablemente es falsa.

Answer 1

Dejemos que $k$ sea un campo, y que $R=k[x,y]$ .

Dejemos que $M$ sea el conjunto de monomios $m \in R\;$ tal que $\deg(m,x) < \deg(m,y)$ .

Definir subrings $A,B$ de $R$ por $$A = k[M]$$ $$B = A[x]$$ Entonces $B\;$ está generada finitamente sobre $A$ .

También, $B=R$ Así que $B\;$ es noetheriano.

Pero $A\;$ no es noeteriano, ya que el ideal de $A\;$ generado por $M$ no está generada finitamente.

Answer 2

Dejemos que $A$ sea un anillo noetheriano cualquiera, y que $\mathfrak{m}$ sea un ideal máximo de $A$ , y establecer $B := A/\mathfrak{m}$ . Entonces $B$ es una entidad finitamente generada $A$ -y es noetheriana porque es un campo.