Aniquiladores de módulos

Question

Estoy atascado tratando de probar que por dos $R$ -módulos $M,N$ ( $R$ conmutativa con a 1), entonces $$Ann(M+N)=Ann(M) \cap Ann (N)$$

Estaba tratando de hacer la doble inclusión, y puedo probar que el lado derecho está contenido en el lado izquierdo, pero estoy atascado en la otra dirección ya que si tomo $x \in Ann(M+N)$ entonces para cualquier $m,n \in M,N$ (resp.) $x(m+n)=0$ pero no veo por qué esto significa $xm=0=xn$ .

Así que me preguntaba si podría obtener algunas pistas sobre cómo probar esto

Gracias

Answer 1

Insinuación sin palabras:

$$x\in\text{Ann}(M+N)\implies x(m+n)=0\;,\;\;\forall\,m\in M\,,\,n\in N\implies$$

$$\implies x(m+0)=x(0+n)=0\;,\;\;\forall\,m\in M\,,\,n\in N\;\;\ldots$$