Ejemplos de modelos de curvas modulares

Question

Dejemos que $\Gamma$ sea un subgrupo de congruencia de $\operatorname{SL}_2(\mathbf Z)$ . Dejemos que $\mathfrak H^*=\mathfrak H\cup\mathbf Q\cup\{\infty\}$ . Shimura en su libro Introducción a la teoría aritmética de las funciones automórficas, sección 6.7, considera la noción de modelo para la superficie compacta de Riemann $\Gamma\backslash\mathfrak H^*$ : dejar $\varphi$ sea una función modular invariante bajo $\Gamma$ y que $V$ sea una curva algebraica proyectiva no singular isomorfa a $\Gamma\backslash\mathfrak H^*$ ; entonces el par $(\varphi,V)$ se denomina modelo para $\Gamma\backslash\mathfrak H^*$ si $\varphi$ proporciona un isomorfismo entre $\Gamma\backslash\mathfrak H^*$ y $V$ .

Dejemos que $\Gamma'$ sea otro subgrupo de congruencia y supongamos que $\alpha\Gamma\alpha^{-1}\subset \Gamma'$ , donde $\alpha \in \operatorname{GL}_2^+(\mathbf Q)$ . Dejemos que $(\varphi',V')$ sea un modelo correspondiente. Entonces, según Shimura, tenemos el siguiente diagrama conmutativo $\require{AMScd}$ \begin {CD} \mathfrak H^* @> \alpha >> \mathfrak H^* \\ @V \varphi V V @VV \varphi ' V \\ V @>>T> V' \end {CD} Aquí $T$ es un mapa racional. Por ejemplo, si $\alpha=1$ y $\Gamma$ es un subgrupo de congruencia de género cero de $\Gamma'=\operatorname{SL}_2(\mathbf Z)$ entonces obtenemos la expresión para el $j$ -como función racional del uniformizador para $\Gamma$ .

Un ejemplo concreto de esto, cuando $\alpha$ no es la matriz de identidad?

Answer 1

He aquí un ejemplo. Tomemos $\Gamma = \Gamma_{0}(4)$ y $\Gamma' = \Gamma(2)$ . Dejaremos que $\alpha = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ Así que $\Gamma' = \alpha \Gamma \alpha^{-1}$ . La función $$ f(z) = \frac{\eta^{8}(z)}{\eta^{8}(4z)} = q^{-1} - 8 + 20q - 62q^{3} + \cdots $$ es un uniformizador para $\Gamma_{0}(4)$ (con un poste simple en $\infty$ y un simple cero en la cúspide a cero). El polinomio mínimo para $f$ en $\mathbb{Q}(j)$ es $j = \frac{(f^{2} + 256f + 4096)^{3}}{f^{5} + 16f^{4}}$ . Esto se encuentra a través del álgebra lineal, y sabiendo que $X_{0}(4) \to X(1)$ es un grado $6$ (por lo que el polinomio mínimo tendrá grado $6$ ).

La función $h = f \circ \alpha^{-1} = f(z/2)$ es una forma modular para $\alpha \Gamma \alpha^{-1}$ . El polinomio mínimo para $h(z)$ en $\mathbb{Q}(j)$ es $j = \frac{(h^{2} + 16h + 256)^{3}}{h^{2} (h+16)^{2}}$ . Si $X$ es la curva modular correspondiente a $\Gamma_{0}(4) \cap \Gamma(2)$ entonces $X \to X_{0}(4)$ es un grado $2$ cubierta, y de hecho uno encuentra que $$ h^{2} + 16h + \frac{f^{5}}{65536} + \frac{f^{4}}{65536} (-j + 752) + \frac{769f^{3}}{256} + \frac{4863}{16} f^{2} + 8192 f + 65536 = 0. $$ Esto se encontró mediante la factorización del polinomio mínimo de $h$ en $\mathbb{Q}(f)$ .