Un espacio de cobertura del complejo CW tiene una estructura de complejo CW inducida.

Question

Dejemos que $X$ ser un $CW$ complejo, y que $q : E \rightarrow X$ sea un mapa de cobertura. Demostrar que $E$ tiene un $CW$ descomposición para la cual cada celda es mapeada homeomórficamente por $q$ en una celda de $X$ .
Sugerencia: Si $A \subseteq X$ es un subconjunto localmente conectado por un camino, entonces la restricción de $q$ a cada componente de $q^{-1}(A)$ es un mapa de cobertura sobre su imagen.

Este problema se encuentra en las páginas 303 de Lee's Toplogical Manifolds.
Podemos definir mapas característicos $\tilde \Phi$ de $E$ de la siguiente manera.
Dejemos que $\Phi : D \rightarrow X$ sea un mapa característico de una célula $e$ de $X$ . Desde $D$ es simplemente conectado, para cada fibra de un elemento en $e$ existe un único levantamiento $\tilde \Phi : D \rightarrow E$ . He comprobado que el conjunto de $\tilde \Phi (Int D)$ forman una descomposición celular. Y esta descomposición de celdas tiene topología débil. Pero soy incapaz de demostrar que tiene la propiedad de finitud de cierre. Sea $\Phi(Int D) = \tilde e$ . $q (\bar {\tilde e}) = \bar e$ intersecta un número finito de celdas de $X$ desde $X$ es un $CW$ complejo. Pero no puedo demostrar que $\bar {\tilde e}$ intersecta un número finito de celdas de $E$ . Me gustaría tener algunas pistas.

Answer 1

Dado un espacio $E$ equipado con una descomposición de celdas para la que tiene la topología débil y la frontera de cada celda está contenida en la unión de las celdas de dimensión inferior, la finitud de cierre es equivalente a la afirmación de que para cada $n$ El $n$ -esqueleto $E^n\subseteq E$ (es decir, la unión de las celdas de dimensión $\leq n$ ) tiene la topología débil. De hecho, (una paráfrasis de) esta última condición se toma a menudo como la definición de un complejo CW en lugar de la finitud de cierre (por ejemplo, esta es la definición en Topología algebraica de Hatcher (demuestra la equivalencia con la definición de cierre finito como Proposición A.2 en el Apéndice).

Dado que ya has demostrado que cualquier espacio de cobertura de un complejo CW tiene la topología débil, esto es ahora fácil: el $n$ -esqueleto $E^n$ es un espacio de cobertura del $n$ -esqueleto $X^n$ de $X$ y $X^n$ también es un complejo CW.

Más directamente, se puede demostrar la finitud de cierre por inducción en la dimensión de las celdas: si se sabe que la finitud de cierre es válida para celdas de dimensión $\leq n$ Entonces, usted sabe que $E^n$ es un complejo CW. Se deduce que el mapa de unión $\partial D^{n+1}\to E^n$ de cualquier $(n+1)$ -intersecta sólo un número finito de celdas de $E^n$ ya que cualquier subconjunto compacto de un complejo CW está contenido en un número finito de celdas.