¿Bajo qué representación de U(1) se transforman el electrón y el campo gauge del fotón?

Question

Sé que bajo $SU(2) \times SU(2)$ el electrón zurdo se transforma en $ ( \frac{1}{2},0 ) $ y el campo vectorial gauge $A_\mu$ en $ ( \frac{1}{2},\frac{1}{2}) $ .

Dado que el electrón se transforma bajo $U(1)$ debe haber una representación bajo la cual se transforma. ¿Cuál es esta representación? ¿Tiene un nombre?

Aparentemente $A_\mu$ no se transforma bajo la misma representación, lo que significaría $e^{\alpha(x) Q} A_\mu$ sino como $A_\mu + i \partial_\mu \alpha(x)$ ? ¿Qué representación es ésta?

Por supuesto, me doy cuenta de que la transformación de $A_\mu$ no puede ser diferente para que la lagrangiana sea invariante, pero eso no debe usarse para definirla.

Answer 1

$U(1)$ es un grupo abeliano. Los grupos abelianos sólo tienen una representación irreducible unidimensional. A saber, la transformación por una fase (en el caso del electrón). La carga del campo de fermiones es proporcional al coeficiente de la fase. En particular, un campo de carga $q$ se transforma en $\Psi \to e^{i q \theta(x)} \Psi$

EDIT: Como se ha señalado en los comentarios, la respuesta anterior era incorrecta.

Answer 2

El campo de electrones se transforma bajo la $\mathbf 1$ de $U(1)$ es decir, el generador es $i$ o $1$ dependiendo de su convención/notación.

Los campos gauge se transforman en la representación adjoint, pero se transforman como una conexión, como mencionó @Adam. En otras palabras, si $\psi \to g \psi$ entonces $D_\mu \psi \to g D_\mu \psi$ implica que $A_\mu \to g D_\mu g^{-1}$ . Es un poco engañoso para $U(1)$ porque no se ve la estructura no abeliana, pero se entiende la idea.