Encontrar una inversa en términos de una incógnita en una matriz

Question

Dejemos que $X =\begin{bmatrix} 6 & a \\ -2 & -5\end{bmatrix}$ donde $a$ es una constante y no es igual a 15.

Estoy tratando de encontrar $X^{-1}$ en términos de $a$ . (Así que la inversa, en términos de $a$ )

Así que estaba pensando, según mi entendimiento actual, en intercambiar las posiciones de $a$ y $d$ en esta matriz por lo que $6$ y $-5$ están en posiciones opuestas. Entonces tengo que poner un signo negativo delante de $b$ y $c$ por lo que a se convierte en $-a$ y $-2$ se convierte en $+2$ .

Entonces tengo que dividir todo por el determinante que es $(ad-bc)$ .

¿Estoy en la línea correcta?

Answer 1

Sí, tienes razón. Simplemente utilizarás el hecho de que para una matriz invertible $A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ , $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$ y más en general, $A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A)$ .