¿La convexidad de una "norma" implica la desigualdad del triángulo?

Question

Dado un espacio vectorial $V$ (por comodidad, definido sobre $\mathbb{r}$ ), llamamos $d:V\rightarrow\mathbb{R}$ a norma para $V$ si $\forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$ y $\forall r \in \mathbb{R}$ que tenemos:

1. $d(r \mathbf{v}) = |r|d(\mathbf{v})$ ,
2. $d(\mathbf{v})\ge 0$ con igualdad si $\mathbf{v} = 0$ y
3. $d(\mathbf{u})+d(\mathbf{v}) \ge d(\mathbf{u}+\mathbf{v})$ (desigualdad triangular)

He leído en algunos sitios que una propiedad importante de una norma es que sea convexa; es decir, dada $\mathbf{u},\mathbf{v} \in V$ y $p \in (0,1)$ tenemos $d(p \mathbf{u} + (1-p) \mathbf{v}) \le p d(\mathbf{u}) + (1-p) d(\mathbf{v})$ . Esto se deduce claramente de la desigualdad triangular.

Mi pregunta es: ¿Se cumple también lo contrario? es decir, ¿una función que satisfaga (1) y (2) y que sea convexa satisface necesariamente la desigualdad triangular? Si no es así, ¿cuál es un contraejemplo instructivo?

Gracias. (btw: por favor, siéntase libre de sugerir mejores etiquetas / mejoras a la pregunta; ¡soy nuevo en esto!)

Answer 1

Resuelto en los comentarios.

Configuración $p=\frac12$ en la definición de convexidad, tenemos $$ d\Big( \frac{\mathbf u + \mathbf v}{2} \Big) \leqslant \frac12 d(\mathbf u) + \frac12 d(\mathbf v). $$ Por la escala u homogeneidad, el lado izquierdo es simplemente $\frac12 d(\mathbf u + \mathbf v)$ Si introducimos esto y simplificamos, obtenemos la desigualdad del triángulo.