Demuestre que el logaritmo principal ( $Log$ ) es una biyección entre $\mathbb{C}-[0,\infty)$ y $\Omega=\{z \in \mathbb{C} | -\pi < Im(z) <\pi\}$

Question

Estoy haciendo este ejercicio:

Demuestre que el logaritmo principal ( $Log$ ) es una biyección entre $\mathbb{C}-[0,\infty)$ y $\Omega=\{z\in\mathbb{C}|-\pi<Im(z)<\pi\}$

En primer lugar, entiendo que $\mathbb{C}-[0,\infty)$ se refiere al conjunto de todos los números complejos menos el eje real positivo, ¿verdad? ¿Es la notación que tenemos que utilizar?

Cuando tengamos esto resuelto, tengo que ver que $Log$ es inyectiva ( $Log(a)=Log(b) \iff a=b$ ) y eso es exhaustivo. Entonces, hemos terminado, ¿no?

Me gustaría que me dieran alguna pista porque me confunde la notación de este problema.

Gracias por su tiempo.

Answer 1

Sugerencia: utilice las coordenadas polares. Con algunos advertencias $$\log(r e^{i\theta}) = \log r + i\theta.$$