¿Grupo de isogenias representable?

Question

Es bien sabido que "la" pila de curvas elípticas (permítanme ser vago en cuanto a las curvas singulares, las compactificaciones, etc.) tiene una presentación por un groupoide en esquemas. Una de las cosas que hay que demostrar para ver esto es que la gavilla de isomorfismos entre dos curvas elípticas sobre una base es representable (estoy simplificando un poco, claramente), digamos por un espacio algebraico (ver por ejemplo L&M-B Corollaire 3.13)

¿Qué ocurre si tomamos en su lugar la preforma de isogenias entre dos curvas elípticas? Mi opinión es que es una gavilla. ¿Pero es representable? No tengo ninguna intuición.

Evidentemente, las curvas elípticas y las isogenias no son una pila algebraica tal y como se define habitualmente: no forman una categoría fibrada en groupoides. Estoy preguntando específicamente sobre la (pre)gavilla de isogenias aquí, y no curvas elípticas hasta la isogenia. Esto tiene aplicaciones al trabajo de Charles Rezk discutido en su charla del ICM, si la gente quiere motivación.

Se podrían hacer preguntas análogas sobre las variedades abelianas, pero me abstendré.

Answer 1

En general tienes un esquema de Hom $\mathrm{Hom}_S(X,Y)$ para $X$ y $Y$ dos esquemas sobre $S$ siempre que $S$ es noetheriano, $X$ plana y proyectiva, $Y$ cuasi-proyectiva. Se descompone en componentes conectados que dependen del polinomio de Hilbert del gráfico de $f$ en $X \times_S Y$ . Si $X$ y $Y$ son curvas, esto da $\mathrm{Hom}_S(X,Y) = \coprod_d \mathrm{Hom}^d_S(X,Y)$ donde $\mathrm{Hom}^d_S(X,Y)$ parametriza los mapas de grado $d$ . Ahora bien, una isogenia de curvas elípticas no es más que un mapa de grado positivo que preserva el origen, así que ya está.

Answer 2

Debería ser representable por un esquema ind. Deberías mirar el documento de Mumford "On the equations defining abelian varieties II", sección 9. Él llama a este espacio de moduli $\mathcal{M}_{\infty}$ parametriza torres de variedades abelianas.