Cambio de variables - Polar a cartesiana

Question

Un cambio de variables de cartesianas a polares da

$$\iint_{D}\,dx\,dy=\iint_{D^*}\,r\,dr\,d\theta.$$

Estoy tratando de cambiar de polar a cartesiano.

Desde $$r=\frac{x}{\cos\theta};\,\, r=\frac{y}{\sin\theta};\,\,\theta=\arccos(\frac{x}{r});\,\,\theta=\arcsin(\frac{y}{r}),$$

que tenemos, $$\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{1}{\cos\theta}=\frac{r}{x};\,\, \frac{\partial r}{\partial y}=\frac{1}{\sin\theta}=\frac{r}{y};\,\,\frac{\partial \theta}{\partial x}=-\frac{1}{y};\,\,\frac{\partial \theta}{\partial y}=\frac{1}{x}.$$

Así, el determinante del jacobiano = $\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial \theta}{\partial y}-\frac{\partial r}{\partial y}\frac{\partial \theta}{\partial x}=\frac{r}{x^2}+\frac{r}{y^2}.$ Entonces

$$\iint_{D^*}\,r\,dr\,d\theta=\iint_{D}\,r\,\left(\frac{r}{x^2}+\frac{r}{y^2}\right)\,dx\,dy.$$

Esperaba conseguir $\iint_{D}\,dx\,dy$ pero no lo soy. ¿Me he equivocado en los cálculos o me falta algún paso?

Answer 1

Sus definiciones de $r$ al principio te están metiendo en problemas. Las cosas malas suceden en $\sin \theta = 0$ o $\cos \theta = 0$ .

Prueba con $r = \sqrt{x^2+y^2}$ . Entonces

$$\frac{\partial{r}}{\partial{x}} = \frac{x}{r}; \frac{\partial{r}}{\partial{y}} = \frac{y}{r}.$$

A continuación, utilizando el método de Fantini $\theta = \tan ^{-1}(\frac{y}{x})$ obtenemos

$$\frac{\partial \theta}{\partial x} = \frac{-\frac{y}{x^2}}{1+\frac{y^2}{x^2}} = -\frac{y}{r^2}; \frac{\partial \theta}{\partial y} = \frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{y^2}{x^2}} = \frac{x}{r^2}.$$

Entonces el determinante de su jacobiano $J$ es

$$\frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial \theta}{\partial y} - \frac{\partial r}{\partial y} \frac{\partial \theta}{\partial x} = \frac{x}{r}\left(\frac{x}{r^2}\right) - \frac{y}{r}\left(-\frac{y}{r^2}\right) = \frac{1}{r},$$ que es lo que necesitas:

$$dA = J r dr d\theta = \frac{1}{r} r dx dy = dx dy.$$

Answer 2

Te has olvidado de la regla de la cadena en el cálculo del jacobiano. Por ejemplo: $$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{1}{\cos\theta} + \frac{x\sin\theta}{\cos^2\!\theta}\frac{\partial \theta}{\partial x} = \frac{1}{\cos\theta}\left[ 1 + \frac{\partial}{\partial x}\left(\arccos\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)\right)\right].$$ Sin embargo, yo altamente te animo a que sigas el camino sugerido por John en su respuesta. De lo contrario, como ya has visto, acabarás dándote la cabeza contra la pared tratando de encontrar un error de cálculo tras otro.