La transformada de Fourier de $f$ es la siguiente: $$\hat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i\omega t}f(t)dt$$ Necesito saber que si $f \in L^2(R)$ entonces podemos concluir que $\hat{f}\in L^2(R)$ ? Se agradecería si alguien pudiera ayudarme.
Respuesta
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Alya
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Necesitamos al menos $f\in L^1(\mathbb{R})$ para que la integral de Fourier $$\hat{f}(\omega):=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}} e^{-i\omega t}f(t)\ dt \tag{*}$$ converge. No todos los $L^2(\mathbb{R})$ es integrable; por ejemplo, la función $$ g(x):=(1+x^2)^{-1/2}\in L^2(\mathbb{R}) $$ pero $g\not\in L^1(\mathbb{R})$ . Por lo tanto, no podemos definir la transformada de Fourier de un $L^2$ -directamente por medio de su integral de Fourier $(*)$ . Pero como el Espacio Schwartz $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ es denso en $L^2(\mathbb{R})$ podemos extender la transformada de Fourier en $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ a $L^2(\mathbb{R})$ . Además, tenemos un teorema que dice que los mapas de extensión $L^2$ a sí mismo (véase, por ejemplo, la sección Transformación de Fourier en $L^2$ en la obra de Stein y Shakarchi Análisis real ).
