Sabemos que $$ \int \frac{dx}{x \sqrt{a^2 \pm x^2} } = -\frac{1}{a} \ln \frac{a+ \sqrt{a^2 \pm x^2}}{\lvert x\rvert }+C$$ He intentado probar esta configuración integral $x = a \ \mathrm{csch} \ u $ y utilizando la sustitución (y asumiendo que $u$ y $a$ son ambos mayores que cero), pero eso me dio todas las respuestas correctas sin el símbolo de valor absoluto en el $x$ . ¿Cómo/por qué se incluye el símbolo del valor absoluto? Sería genial si pudieras mostrar todo el proceso de la prueba.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Jeevan Devaranjan
Puntos
717
Considera el caso de la adición. En primer lugar, utilice $x = a \text{ csch} u $ y $dx = -a \text{ csch} u \text{ coth} u du$ \begin {align} \int \frac {dx}{x \sqrt {a^2 + x^2}} &= \int \frac {-a ( \text { csch} u) ( \text { coth} u) du}{(a \text { csch} u)(a \text { coth} u)} \\ &= - \int \frac {1}{a} du \\ &= - \frac {1}{a}u + c \\ &= - \frac {1}{a} \text { arcsch} \frac {x}{a} + c \\ &= - \frac {1}{a} \ln \Bigg ( \frac {1}{ \frac {x}{a}} + \sqrt { \frac {1}{ \frac {x^2}{a^2}} + 1} \Bigg ) + c \\ &= \frac {-1}{a} \ln\bigg ( \frac {a}{x} + \sqrt { \frac {a^2}{x^2} + 1} \bigg ) + c \\ &= \frac {-1}{a} \ln\bigg ( \frac {a}{x} + a \sqrt { \frac {1}{x^2} + \frac {1}{a^2}} \bigg )+ c \\ &= \frac {-1}{a} \ln\bigg ( \frac {a}{x} + a \sqrt { \frac {a^2 + x^2}{a^2x^2}} \bigg ) + c \end {align} Es en ese paso donde se introduce el valor absoluto, como la raíz cuadrada de $a^2 x^2$ será positivo. Esto da como resultado \begin {Ecuación} \int \frac {dx}{x \sqrt {a^2 + x^2}} = \frac {1}{-a} \ln \bigg ( \frac {a}{x} + \frac { \sqrt {a^2 + x^2}}{|x|} \bigg ) \end {ecuación} Puedes hacer lo mismo para el caso negativo.
s01ipsist
Puntos
1104
Tenga en cuenta que $\frac{1}{x}$ es una función impar, entonces $\int \frac{dx}{x}$ es incluso cualquiera que sea la constante de integración. Por lo tanto podemos hacer la antiderivada par insertando el signo absoluto, es decir $\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C$ . Esto puede verificarse diferenciando la RHS: para $x<0$ , $(\ln |x|)'=[\ln (-x)]'=-\frac{1}{(-x)}$ . Una razón similar para su caso.
dbanet
Puntos
598
W|A puede integrar eso y mostrar el proceso de derivación .
También puede comprobar y verificar la respuesta a la que ha llegado ( $|\cdot|$ omitido) se evalúa al integrando cuando se diferencia, lo que es una prueba de validez suficiente por definición de integral.
En cuanto a tu pregunta, estoy bastante seguro de que la cuestión es exactamente la misma que la del infame $$\int\frac{\mathrm dx}{x}=\log\left|x\right|+C.$$
Verás, esto ni siquiera está mal, $\log|x|$ da $1/x$ cuando se diferencia con respecto a $x$ pero evaluando esa integral así, implícitamente hace dos suposiciones:
- la integral debe ser una función de valor real en el dominio donde el integrando es real,
- $|\cdot|$ que se multiplica por $-1$ siempre que $x<0$ es de alguna manera mejor que multiplicar por cualquier otro real negativo;
no hay necesidad suficiente en absoluto asumir ninguna de ellas, además, por algunas definiciones un poco más estrictas de $\int$ , uno debe proporcionar todos los posibles antiderivados, no sólo los que difieren por una constante. Está garantizado por algún teorema del análisis real que las antiderivadas difieren en una constante sólo cuando el dominio de integración está conectado .
Hay de ninguna manera puede asumir $(1)$ y tener un dominio conectado, $x\mapsto1/x$ es discontinuo en $x=0$ Así que deshacerse de $(2)$ proporciona más sentido: $$\int\frac{\mathrm dx}{x}=\begin{cases}\log(c_1 x)=\log(x)+\log(c_1),\,x\geq0;\\\log(c_2 x)=\log(x)+\log(c_2),\,x<0,\end{cases}$$ donde $c_1,\,c_2$ son constantes reales arbitrarias. A través de la RHS después del corchete a trozos se puede ver fácilmente que la derivada sigue siendo $1/x$ , sin importar en qué parte de la función caiga, y a través del LHS justo después del corchete se puede ver fácilmente cómo establecer $c_2<0$ y $c_1>0$ hace que la función sea real siempre que $1/x$ es real.
El $|\cdot|$ La cosa es sólo una especialización específica donde la segunda constante se toma como $c_2=-c_1$ que se reduce simplemente a $\log|x|+c_1$ .
Como deshacerse de las suposiciones sin sentido hace que las cosas sean menos oscuras, vamos a deshacernos también de $(1):$
$$\log(x)=\ln|x|+i\arg(x).$$
Mágicamente, ahora $\log$ es diferencialmente complejo en todas partes, y $\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\log(x)=\dfrac{1}{x}$ para $x\neq0$ .
Sí, tampoco $\log|x|$ ni el caso más general no son complejos diferenciables en ninguna parte.
Y como extra, ver $1/x$ como una función compleja $\mathbb{C}\setminus\{0\}\mapsto\mathbb{C}$ su dominio ni siquiera está desconectado en $0$ ¡no más! Por lo tanto, sólo se necesita una constante de integración.
$$\int\frac{\mathrm dx}{x}=\log(x)+C.$$
Es decir, no veo ninguna razón para incluir ese signo de módulo.
