¿cómo encontrar el valor mínimo de esta función? $f=\prod_{i=1}^{20}b_i(x)$

Question

dejar $0\lt a_1\lt a_2\lt....\lt a_{20}$ ( $a_i\in\mathbb R$ )y para todo i $\in\{1,2,...,20\}$ definir $$b_i:(0,\infty)\to \mathbb R$$$$ b_i(x)= \left\ { \begin {array}{c} \frac {a_i}{x} ;x \le a_i \\ \\ \frac {x}{a_i};x \gt a_i \end {array} \right.$$ how find minimum value of $ f $ ? such that $ f(x)= \prod_ {i=1}^{20}b_i(x)$

Gracias de antemano

Answer 1

Utilizo el hecho de que la función f es continua.

Para $x<a_{10}$ , $f(x)$ tiene la forma de $K/x^n$ por lo que la función es decreciente. El mínimo no puede estar ahí

Para $x>a_{11}$ , $f(x)$ tiene la forma de $K*x^n$ , por lo que la función es creciente. El mínimo no puede estar ahí

Para $a_{11} >x>a_{10} $ , $f(x) = \frac{a_{20}*...*a_{11}}{a_{10}*...*a_1}$ es constante. Aquí está el mínimo