El centro del círculo

Question

Otro enfoque para la curvatura de una unidad de velocidad en el plano de la curva de $\gamma$ a un punto de $\gamma (s_0)$ es buscar la "mejor aproximación círculo' en este punto. Podemos entonces definir la curvatura de $\gamma$ a ser el recíproco del radio de este círculo. Llevar a cabo este programa, mostrando que el centro del círculo que pasa por tres puntos cercanos a $\gamma (s_0)$ $\gamma (s_0 \pm \delta_s)$ $\gamma$ se acerca al punto de $$\epsilon (s_0) = \gamma (s_0) + \frac{1}{\kappa_s (s_0)}n_s(s_0)$$ como $\delta_s$ tiende a cero. El círculo de $C$ de centro $\epsilon (s_0)$ pasando a través de $\gamma (s_0)$ se llama la osculating círculo a $\gamma$ en el punto de $\gamma (s_0)$, e $\epsilon (s_0)$ es llamado el centro de curvatura de $\gamma$$\gamma (s_0)$. El radio de $C$ $\frac{1}{|\kappa_s (s_0)|} = \frac{1}{\kappa (s_0)}$ donde $\kappa$ es la curvatura de $\gamma$– esto se llama el radio de curvatura de $\gamma$$\gamma (s_0)$.

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He hecho lo siguiente:

Los tres puntos de $\gamma (s_0), \gamma (s_0 + \delta_s), \gamma (s_0 - \delta_s)$ están en el círculo con un radio de $r$ y el centro de la $\epsilon$.

Por lo $$r^2=||\gamma (s_0)-\epsilon||^2=||\gamma (s_0 + \delta_s)-\epsilon||^2=||\gamma (s_0 - \delta_s)-\epsilon||^2$$

Ya queremos mostrar que el centro del círculo tiende a $\epsilon (s_0)$ hacemos lo siguiente:

$$|\epsilon (s_0)-\epsilon|=|\gamma (s_0) + \frac{1}{\kappa_s (s_0)}n_s(s_0)-\epsilon| \leq | \gamma (s_0) -\epsilon|+\frac{1}{|\kappa_s (s_0)|}|n_s(s_0)| \\ =r+\frac{1}{|\kappa_s (s_0)|}|n_s(s_0)|$$

Es esto correcto? ¿Cómo podemos continuar?

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EDITAR:

Tenemos que el radio de $C$$\frac{1}{|\kappa_s (s_0)|}$, por lo que tenemos $$|\epsilon (s_0)-\epsilon|=|\gamma (s_0) + \frac{1}{\kappa_s (s_0)}n_s(s_0)-\epsilon| \leq | \gamma (s_0) -\epsilon|+\frac{1}{|\kappa_s (s_0)|}|n_s(s_0)| =r+\frac{1}{|\kappa_s (s_0)|}|n_s(s_0)|=\frac{1}{|\kappa_s (s_0)|}+\frac{1}{|\kappa_s (s_0)|}|n_s(s_0)|=\frac{1}{|\kappa_s (s_0)|}(1+|n_s(s_0)|)=\frac{1}{|\kappa (s_0)|}(1+|n_s(s_0)|)$$

¿Qué conseguimos con eso?

Answer 1

$\newcommand{\e}{\epsilon} \renewcommand{\d}{\pm\Delta s} \renewcommand{\n}[1] [] {\n\left(s_{0}#1\right)} \newcommand{\gs}{\gamma\left(s_{0}\right)} \newcommand{\gd}{\gamma\left(s_{0}\d\right)} \newcommand{\dg}{\gamma\,'\left(s_{0}\right)} \newcommand{\ddg}{\gamma\,"\left(s_{0}\right)} \newcommand{\S}[1][]{\mathcal{S}\big(\Delta^{#1}\big)}$ Asumir círculo con un radio de $ R $ pasa a través de puntos de $\,\gs,\,\gd$. Entonces los vectores de la conexión de estos puntos, el centro de la $\e$ tienen la misma longitud $R$. \begin{align} \left\|\gs-\e\right\| = \left\|\gd-\e\right\| = R \end{align} Observar que estos vectores son, de hecho, la unidad de las normales $\,\n,\,\n[\pm\Delta],$ en puntos $\,\gs,\,\gd$ multiplicado por el radio de $ R $:

\begin{align} \gs-\e &= R\n \\ \gd-\e &= R\n[\d] \end{align}

Estos vectores apuntan al mismo lugar, que es el centro de un círculo, es decir, $$\gs-R\n=\gd-R\n[\d]=\e$$

Por lo tanto \begin{align} \gs - \gd = R\,\Big(\n-\n[\d]\Big) \implies R = \dfrac{\gd - \gs}{\n[\d]-\n} \end{align} Considere la posibilidad de expansión de Taylor $\, \gd = \gs + \Delta\,\dg + \dfrac{\Delta^{2}}{2}\,\ddg + \O[3]$.

El uso de expansión de Taylor $\,\gd\,$ $\,\n[\d] \,$ tenemos \begin{align} R = \dfrac{\dg + \O[2]}{n\,'\left(s_0\right) + \O[2]} \approx \dfrac{\dg}{n\,'\left(s_0\right)} = \dfrac{\dg}{-\dg\cdot\kappa} = -\dfrac{1}{\kappa} \end{align} donde $\, \dfrac{dn}{ds} = -\kappa\left(s_{0}\right)\,\dg\,$ por Frenet fórmula.

Por lo tanto, el centro del círculo se puede expresar como \begin{align} \boxed{\;\e = \gs - R\n = \gs + \dfrac{\n}{\kappa\left(s_{0}\right)\,}\;} \end{align}

Answer 2

Demasiado grande para los comentarios:

$\epsilon = \gamma (s_0) + r\ n(s_0)$

$\epsilon$ es la suma vectorial de $\gamma (s_0)$ y la unidad normal de tiempo de la radio, $r\ n(s_0)$.

Las pruebas consisten en mostrar que como $\delta_s$ se aproxima a cero la unidad normal del círculo y la curva de $\gamma(s)$ convergen y, por definición,$\frac{1}{\kappa_s (s_0)} = r$.

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Editar

Un enfoque se puede demostrar que la tangente a la circunferencia en a $\gamma (s_0)$ es igual a la tangente a la curva de $\gamma (s)$$\delta_s \rightarrow 0$. Puesto que hay tres puntos en común $\gamma (s_0)$, $\gamma (s_0 \pm \delta_s)$ para el círculo y la curva, a continuación, ambas tangentes son paralelas a $\displaystyle \lim_{ \delta_s \rightarrow 0} \frac {\gamma (s_0 + \delta_s) - \gamma (s_0 - \delta_s)}{2\delta_s}$. La unidad normales son perpendiculares a la misma tangente. La dirección de la normal $(\pm)$ es la misma porque es la misma de tres puntos. Se trata de la misma unidad normal y el círculo de la curva de $\gamma (s)$$s_0$.

Todavía necesita un $\frac{1}{\kappa_s (s_0)} = r$ argumento.

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Edit 2

Introducción al Análisis Vectorial -- quinta edición, Davis & Snider , pg. 80

"definir la curvatura k como la velocidad a la que la unidad de vector tangente vueltas con respecto a una longitud de arco a lo largo de la curva:"

$$ k = \left|\frac{dT}{ds} \right| = \frac{|dT/dt|}{ds/dt}$$

o.k. Puesto que hay tres puntos en común que podemos crear dos tangentes por los límites.

$$ k = \left|\frac{dT}{ds} \right| = \displaystyle \lim_{ \delta_s \rightarrow 0} \frac{\left|\frac{ \frac {\gamma (s_0 + \delta_s) - \gamma (s_0)}{\delta_s}}{\left|\frac {\gamma (s_0 + \delta_s) - \gamma (s_0)}{\delta_s}\right|} - \frac{\frac {\gamma (s_0) - \gamma (s_0 - \delta_s)}{\delta_s}}{\left|\frac {\gamma (s_0) - \gamma (s_0 - \delta_s)}{\delta_s}\right|}\right|}{\left|\delta_s\right|}$$

Desde que los tres puntos son comunes para el círculo y la curva de $\gamma(s)$ tienen el mismo límite de la curvatura de la ecuación. es decir, La misma curvatura en $s_0$. Dada la curvatura del círculo es $\frac{1}{r}$ y la definición del vector de $\epsilon = \gamma (s_0) + r\ n(s_0)$ $\epsilon (s_0)$ es lo mismo que $\epsilon$.

$$\lim_{ \delta_s \rightarrow 0} \epsilon = \epsilon (s_0) = \gamma (s_0) + \frac{1}{\kappa_s (s_0)}n_s(s_0)$$

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Resumen

Porque hay tres puntos en común para el círculo y la curva de $\gamma (s)$:

La unidad de la tangente a la circunferencia y la curva son los mismos en $s_0$.

La unidad normal el círculo y la curva son perpendiculares a la misma tangente y son los mismos en $s_0$.

La curvatura del círculo y la curva son los mismos en $s_0$ porque tienen el mismo límite de la ecuación para la curvatura.

La conclusión de la ecuación es una suma vectorial.

Answer 3

Llevar a cabo este programa, mostrando que el centro del círculo que pasa por tres puntos cercanos a $\gamma (s_0)$ $\gamma (s_0 \pm \delta_s)$ $\gamma$ se acerca al punto de $\epsilon (s_0)$ ...

Esto no "llevar a cabo el programa", sólo se verifica un caso especial. Para justificar la idea de un círculo de curvatura requiere la convergencia de la circunferencia circunscrita de cualquier inscrito el triángulo cuyos vértices enfoque de $\gamma(s_0)$. Incluso con un vértice anclado en $\gamma(s_0)$, los triángulos con los otros dos puntos en $\gamma(s_0 \pm \delta)$ no son genéricos.