Una serie infinita con polinomios de Legendre

Question

Para $x \in [-1,1]$ y $0 \le g < 1$ , considere la serie convergente $$ H(x,g) = \sum_{k = 0}^\infty (2k+1) g^k P_k(x)^2 $$ donde $P_k$ es el $k$ -ésima de Legendre. Entonces $H(1,g) = \frac{1+g}{(1-g)^2}$ y la evidencia numérica sugiere que $H(0,g) \sim \frac{2}{\pi(1-g)}$ como $g \to 1$ .

¿Es esto correcto? ¿Se sabe esto? ¿Se sabe algo de la función $H$ ?

Answer 1

Esto es correcto y conocido. De hecho se tiene (fórmula 5.10.2.1 del Vol. II de Prudnikov-Brychkov-Marychev) $$\mathcal{F}(t,y,z):=\sum_{k=0}^{\infty}t^k P_k(\cos y)P_k(\cos z)=\frac{4}{\pi(u_++u_-)}\mathbf{K}\left(\frac{u_+-u_-}{u_++u_-}\right),$$ donde $u_{\pm}=\sqrt{1-2t\cos(y\pm z)+t^2}$ y $\displaystyle\mathbf{K}(k)=\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{\sqrt{1-k^2\sin^2 x}}$ denota la integral elíptica completa del primer tipo.

La suma a calcular viene dada entonces por \begin {align}H(x,g)&= \left [ \left (2t \frac {d}{dt}+1 \right ) \mathcal {F}(t,y,y) \right ]_{t=g, \cos y=x}= \\ &= \frac4 { \pi } \left (2g \frac {d}{dg}+1 \right ) \frac {1}{v(x,g)+1-g} \mathbf {K} \left ( \frac {v(x,g)-1+g}{v(x,g)+1-g} \right ), \end {align} donde $v(x,g)=\sqrt{(1+g)^2-4gx^2}$ . Tras la diferenciación obtenemos una expresión algo engorrosa

\begin {align} H(x,g)=& \frac {2(1+g)(1-g+v(x,g))}{ \pi (1-g)v^2(x,g)} \mathbf {E} \left ( \frac {v(x,g)-1+g}{v(x,g)+1-g} \right )+ \\ +& \frac {(1+g)(1-g-v(x,g))}{ \pi g(1-x^2)v(x,g)} \mathbf {K} \left ( \frac {v(x,g)-1+g}{v(x,g)+1-g} \right ), \end {align} donde $\displaystyle\mathbf{E}(k)=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-k^2\sin^2 x}\,dx$ denota la integral elíptica completa de segundo tipo.

Ahora la expresión exacta $$H(0,g)=\frac{4\mathbf{E}(g)}{\pi(1-g^2)}-\frac{2\mathbf{K}(g)}{\pi},$$ y $\mathbf{E}(1)=1$ implican la asintótica conjeturada en la pregunta.

Answer 2

Existe una identidad útil para los productos de polinomios de Legendre (véase DLMF (34.3.19) ) que en el caso de los estados de interés $P_k^2(x) = \sum\limits _{l=0}^\infty C_{kl} P_{2l}$ donde $C_{kl}=\begin{pmatrix}k & k & 2l \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}^2$ y $\begin{pmatrix}l_1 & l_2 & l_3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ es el Wigner- $3j$ símbolo. (Hemos tomado el tercer parámetro como par ya que este símbolo desaparecerá si la suma de los parámetros es impar). Así pues, $H(x,t)=\sum_{k,l\geq 0}C_{kl} (2k+1)g^{k}P_{2l}(x)$ .

Podemos hacer esto más explícito observando que (DLMF 34.3.5) $$C_{kl}=\begin{pmatrix}k & k & 2l \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}^2 =(-1)^{k+l}\frac{(2l)!^2(2k-2l)!}{(2k+2l+1)!}\frac{(k+l)!^2}{k!^4\,2!}\\ \implies \quad H(x,t)=\sum_{k,l\geq 0} (-1)^{k+l}\frac{(2l)!^2(2k-2l)!}{(2k+2l+1)!}\frac{(k+l)!^2}{k!^4\,l!^2}(2k+1)g^k P_{2l}.$$ Así, hemos negociado $P_k^2$ para polinomios de Legendre pares y coeficientes combinatorios. (Veré si puedo desarrollar más esta respuesta, particularmente los casos $x=0,1$ .)