Encontrar una solución de la ecuación de Laplace $-\Delta u=1$ con la condición de límite $u=0$ en una cáscara esférica

Question

Dejemos que

• $n\ge 2$
• $B_\varepsilon$ y $\overline{B}_\varepsilon$ sea la bola abierta y cerrada alrededor de $0$ con radio $\varepsilon>0$ en $\mathbb{R}^n$ , respectivamente
• $R>0$ , $\rho\in (0,R)$ y $\Omega:=B_R\setminus\overline{B}_\rho$

Estoy buscando una solución de $$\left\{\begin{matrix}-\Delta u&=&1&\text{on }\Omega\\u&=&0&\text{on }\partial\Omega\end{matrix}\right.\tag{1}$$

---

Conozco la solución de $(1)$ para $\rho=0$ es decir $\Omega=B_R$ . En esa situación $$u(r)=\frac{R^2-r^2}{2n}$$ es una solución radial de $(1)$ .

Sin embargo, no estoy seguro de cómo tengo que tratar la condición de contorno y encontrar una solución en este escenario.

Answer 1

Si se trata de la cáscara esférica, se está todavía en el caso radial. Por lo tanto, en la situación radial su problema es equivalente a $$ -u_{rr}-\frac{n-1}{r} u_r = 1, \\ u(\rho) = u(R) = 0, $$ donde $r = |x|$ .

La solución general es la siguiente (debida a WolframAlpha):

1) Si $n=2$ entonces $$ u(r) = c_1 \ln r + c_2 - \frac{r^2}{4}. $$ 2) Si $n \geq 3$ entonces $$ u(r) = \frac{1}{n} \left( \frac{c_1 n x^{2-n}}{2-n} - \frac{x^2}{2} \right) + c_2. $$

Utilizando ahora los datos de los límites $u(\rho) = u(R) = 0$ se puede definir de forma única $c_1$ y $c_2$ .